Größte singuläre Zahl von Zufallsmatrizen - Beiträge zur Abschätzung der Größenordnung durch Orlicz-Normen

Riemer, Stiene

Gegenstand dieser Arbeit ist die Abschätzung der größten singulären Zahl von Zufallsmatrizen, deren Einträge unabhängige, aber nicht notwendigerweise identisch verteilte Zufallsgrößen sind. Da es sich bei den singulären Zahlen von Zufallsmatrizen um Zufallsgrößen handelt, sind Aussagen über diese stets stochastischer Natur. Unser Augenmerk liegt auf dem Erwartungswert der größten singulären Zahl. Wir bestimmen die Größenordnung des Erwartungswertes der größten singulären Zahl von Zufallsmatrizen, deren Einträge unabhängige, zentrierte Zufallsgrößen mit endlichen zweiten Momenten sind, bis auf einen logarithmischen Faktor. Wir benutzen hierzu Techniken, die auf Orlicznormen basieren und in diesem Zusammenhang ein neuartiges Vorgehen darstellen. Das Verständnis des Spezialfalls unabhängiger, zentrierter, normalverteilter Einträge mit beliebiger Varianz ist entscheidend, um den allgemeinen Fall zu verstehen. Wir zeigen hierfür direkt eine untere Abschätzung und geben dann eine obere Abschätzung der größten singulären Zahl in Wahrscheinlichkeit an. Aus dieser leiten wir im Anschluss die Aussage über den Erwartungswert her. Den Term, der die Größenordnung bestimmt, können wir mit der von uns entwickelten Methode als eine verallgemeinerte Orlicznorm angeben, die in unserem Fall eine besonders einfache Gestalt hat. So zeigen wir, dass der entscheidende Ausdruck sich berechnen lässt, indem man die euklidische Norm der Zeilen- bzw. Spaltenvektoren der Varianzmatrix berechnet und das Maximum dieser bestimmt. Als wesentlichen Hilfssatz zeigen wir, dass der Erwartungswert von Orlicznormen unabhängiger, integrierbarer, aber nicht notwendigerweise identisch verteilter Zufallsgrößen sich größenordnungsmäßig verhält wie eine Orlicznorm, die wir explizit angeben. Dies stellt ein für sich interessantes Resultat dar, denn so ist es zum Beispiel möglich, den Erwartungswert des Maximums von unabhängigen, aber nicht notwendigerweise identisch verteilten Zufallsgrößen zu berechnen.

The subject of this thesis is estimating the largest singular value of random matrices with independent, but not necessarily identically distributed entries. Since singular values of random matrices are random variables themselves, statements about these are expressed in stochastic terms. We focus on the expectation of the largest singular value. We determine, up to a logarithmic factor, the order of the largest singular value of randnom matrices whose entries are independent, centered random variables with finite second moments. To obtain our results, we use a method based on Orlicz norms, which represents a novel approach in this context. To handle the case of general entries, it is crucial to study first the special case of independent, centered, gaussian entries with arbitrary variances. We immediately obtain a lower bound estimation and then derive an estimation of the upper bound in probability. Based on this special situation, we prove the upper bound estimation of the expected value of the largest singular value in the general case. The expression determining the order of the expected value is written in terms of a generalized Orlicz norm, which is of appealingly simple structure: the decisive term is computed by taking the maximum of the Euclidean norm of the column and row vectors of the variance matrix. To handle both the special case of gaussian entries and the general case, we derive in an intermediate step a feasible expression of the expected value of Orlicz norms of independent but not necessarliy identically distributed random variables. This especially allows to compute the expected value of the maximum of independent random variables.

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Riemer, Stiene: Größte singuläre Zahl von Zufallsmatrizen - Beiträge zur Abschätzung der Größenordnung durch Orlicz-Normen. 2011.

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