Über Gruppen quasiregulärer Elemente in assoziativen Algebren

Hansmann, Juliane

In der vorliegenden Arbeit untersuchen wir die Struktur der Gruppe quasiregulärer Elemente in frei nilpotenten Algebren. Ein Element einer assoziativen Algebra $A$ heißt quasiregulär, wenn es bezüglich der auf $A$ definierten Verknüpfung $a \star :=a+b+ab$ invertierbar ist. Wir bezeichnen mit $X$ eine (meist endliche) nichtleere Menge und mit $N=N_{K,X,k}$ die frei nilpotente $K$-Algebra der Klasse $k$ über $X$. Dabei ist $K$ ein kommutativer unitärer Ring, oftmals wählen wir $K = \mathds{Z}$ oder $K=\mathds{Z}/ c\mathds{Z}$ für ein $c>1$. Wir bestimmen für $|X|=1$, also in dem Fall, dass $(N,\star)$ abelsch ist, den Isomorphietyp dieser Gruppe. Dabei zeigt sich, dass viele Strukturinformationen an geeignet gewählten Intervallzerlegungen von $\{1, \dots , k\}$ abgelesen werden können. Dieses Hilfsmittel verwenden wir erneut, um ausgehend von größeren Mengen Strukturinformationen für die von $X$ erzeugte Untergruppe $\langle X \rangle_\star$ im Fall eines endlichen Grundrings $K$ zu erhalten: Nach dem Satz von Magnus wissen wir, dass die von $X$ erzeugte Gruppe in der Potenzreihenalgebra frei über der Menge $X$ ist. Für den Fall $K=\mathds{Z}$ zeigen wir in dieser Arbeit, dass $\langle X \rangle_\star$ frei nilpotent von der Klasse $k$ über $X$ ist. Ist nun $K$ ein Faktorring von $\mathds{Z}$, so ist die von $X$ erzeugte Untergruppe erneut in einer geeignet gewählten Gruppenklasse frei über $X$. Dazu betrachten wir die Klasse der nilpotenten Gruppen von der Klasse höchstens $k$, bei denen wir, in Abhängigkeit von $K$, Bedingungen an die Exponenten der absteigenden Zentralreihe stellen. Die Untersuchung des von der Kommutatoruntergruppe $N'$ erzeugten assoziativen Ideals ermöglicht es uns, die Gruppe $(N,\star)$ semidirekt zu zerlegen. Zudem beschreiben wir die Gruppe $(N,\star)$ für die Nilpotenzklassen $k=2$ und $k=3$, indem wir die Gruppe so zerlegen, dass wir jeden Faktor entweder als bereits bekannt identifizieren oder ihn durch Erzeuger und Relationen beschreiben.

In this thesis, we study the group of quasi-regular elements in free nilpotent algebras. An element of an associative algebra $A$ is called quasi-regular if it is invertible with respect to the operation $a \star b :=a+b+ab$ on $A$. We denote by $X$ an (in most cases finite) non-empty set and by $N = N_{K,X,k}$ the free nilpotent algebra of class $k$, freely generated by $X$, where $K$ denotes a commutative unitary ring. We often choose $K$ as $K=\mathds{Z}$ or $K=\mathds{Z} / c\mathds{Z}$ for some $c>1$. We consider the special case $|X|=1$, i.e., $(N,\star)$ is abelian, and we determine the isomorphism type of $(N,\star)$. In doing so, we find that most of the structural information is encoded in a special partition of the interval $\{1, \dots , k\}$. This suitably chosen partition also turns out to be useful to determine the structure of the subgroup $\langle X \rangle_\star$ of $(N,\star)$: The Magnus theorem states that the subgroup generated by $X$ in the algebra of formal power series is a free group, freely generated by $X$. In this thesis, we show that for $K = \mathds{Z}$ the group $\langle X \rangle_\star$ generated by $X$ in $N$ is free nilpotent of class $k$ and $X$ is a nilpotently free generating set for $\langle X \rangle_\star$. Passing on to the case where $K$ is a quotient ring of $\mathds{Z}$, we find that the group $\langle X \rangle_\star$ is also freely generated by $X$ in a suitable class of groups. For that purpose, we consider the class of nilpotent groups of class at most $k$ where we have additional conditions on the exponent of the groups in the lower central series, depending on $K$. The study of the associative ideal generated by the derived subgroup $N'$ enables us to split the group $(N,\star)$ into a semidirect product. For $k=2$ and $k=3$, we determine the isomorphism type of $(N,\star)$ by splitting the group into subgroups whose isomorphism type we already know or which we can describe in terms of generators and relations.

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Hansmann, Juliane: Über Gruppen quasiregulärer Elemente in assoziativen Algebren. 2015.

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