Zulässige Gruppenwirkungen auf Hadamardräumen, ihren virtuellen Rändern und assoziierten Bäumen

Grensing, Sebastian

Gegenstand der vorliegenden Dissertationsschrift ist die Untersuchung einer Klasse eigentlich diskontinuierlicher, kokompakter, isometrischer Gruppenwirkungen auf Hadamardräumen und der induzierten topologischen Wirkungen auf deren virtuellen Rändern. In [CK02] beschreiben C. B. CROKE und B. KLEINER geometrische Daten einer Klasse sogenannter zulässiger Wirkungen, welche die topologische Konjugationsklasse der auf dem virtuellen Rand induzierten Wirkung eindeutig bestimmen. Insbesondere zeigen die Autoren, daß falls die geometrischen Daten zulässiger Wirkungen einer Gruppe auf zwei Hadamardräumen äquivalent sind, sich jede äquivariante Quasiisometrie stetig zu einem Homöomorphismus der virtuellen Ränder fortsetzen läßt. Dazu konstruieren sie eine aus der Graphenzerlegung der Gruppe abgeleitete geometrische Zerlegung des Hadamardraumes in sogenannte Ecken- und Kantenräume, wobei für eine nichtpositiv gekrümmte Graphenmannigfaltigkeit diese gerade den universellen Überlagerungen ihrer Seifertstücke bzw. derer Randtori entsprechen. Diese Zerlegung erlaubt es ihnen zu zeigen, daß jeder nicht zu einem einzelnen Eckenraum asymptotische geodätische Strahl bis auf uniform sublinearen Fehler dem quasiisometrischen Bild eines geodätischen Strahles in einem als Schablone bezeichneten Modellraum für die von dem geodätischen Strahl durchlaufene Folge von Kantenräumen entspricht. Ferner fragen CROKE und KLEINER ebenda nach möglichen Verallgemeinerungen der vorgestellten Klasse von Wirkungen, welche ähnliche Stabilitätsaussagen zulassen. Geometrisch relevant sind insbesondere zulässige Wirkungen von höherem Rang, d.h. Wirkungen von Gruppen, in deren Graphenzerlegung die Kanten auch virtuell frei abelsche Gruppen von höherem Rang tragen und die damit eine natürliche Verallgemeinerung geometrischer Daten zulassen. Solche Wirkungen erlauben in der Tat eine zu [CK02] analoge Zerlegung des Hadamardraumes in Ecken- und Kantenräume und die Verallgemeinerung von Schablonen. Aber anders als im Falle niedriger Dimension, sind geodätische Strahlen im allgemeinen nicht auf Schablonen modellierbar.Damit lassen sich zulässige Wirkungen von höherem Rang auf einem Paar von Hadamardräumen angeben, deren verallgemeinerte geometrische Daten äquivalent sind, und eine äquivariante Quasiisometrie, welche keine stetige Fortsetzung auf den virtuellen Rand besitzt. Somit ist die in [CK02] aufgeworfene Frage für die natürliche Verallgemeinerung negativzu beantworten.

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Grensing, Sebastian: Zulässige Gruppenwirkungen auf Hadamardräumen, ihren virtuellen Rändern und assoziierten Bäumen. 2010.

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