Contributions to the theory of optimal stopping

Christensen, Sören

This thesis deals with the explicit solution of optimal stopping problems with infinite time horizon. To solve Markovian problems in continuous time we introduce an approach that gives rise to explicit results in various situations. The main idea is to characterize the optimal stopping set as the union of the maximum points of explicitly given functions involving the harmonic functions for the underlying stochastic process. This provides elementary solutions for a variety of optimal stopping problems and answers questions concerning the geometric shape of the optimal stopping set. The approach is shown to work well for one- and multidimensional diffusion processes, spectrally negative Lévy processes and problems containing the running maxima process. Furthermore we introduce a new class of problems, which we call problems with guarantee. For continuous one-dimensional driving processes and certain Lévy processes we prove that the optimal strategies are of two-sided type and establish first-order ODEs that characterize the solution. In the second part we consider optimal stopping problems for autoregressive processes in discrete time. This class of processes is intensively studied in statistics and other fields of applied probability. We establish elementary conditions to ensure that the optimal stopping time is of threshold type and find the joint distribution of the threshold-time and the overshoot for a wide class of innovations. Using the principle of continuous fit this leads to explicit solutions.

Gegenstand dieser Arbeit ist die explizite Lösung von Problemen des optimalen Stoppens mit unendlichem Zeithorizont. Im ersten Teil führen wir zur Lösung Markovscher Probleme in stetiger Zeit einen Ansatz ein, der in einer Vielzahl von Situationen zu expliziten Ergebnissen führt. Unter Benutzung der harmonischen Funktionen des zugrunde liegenden Prozesses charakterisieren wir dazu zunächst das Stoppgebiet als Menge von Maximalstellen konkret gegebener Funktionen. Dies führt in vielen Fällen zu elementaren Lösungen und ermöglicht Aussagen zur geometrischen Form des Stoppgebiets. Der Ansatz ist anwendbar auf ein- und mehrdimensionale Diffusionen, spektral-negative Lévyprozesse und Probleme, die den Supremumsprozess enthalten. Des Weiteren führen wir eine neue Klasse von Problemen ein, die wir Stoppprobleme mit Garantien nennen. Für stetige eindimensionale Prozesse zeigen wir mithilfe des obigen Ansatzes, dass die optimalen Strategien zweiseitig sind und charakterisieren die optimalen Grenzen mittels gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung. Diese Ergebnisse übertragen wir anschließend auf Lévyprozesse. Im zweiten Teil beschäftigen wir uns mit Problemen des optimalen Stoppens autoregressiver Folgen, welche zur Beantwortung von Fragen in der Statistik und in anderen Feldern der angewandten Mathematik untersucht werden. Wir geben elementare Bedingungen an, die sicherstellen, dass die optimalen Stoppzeiten Erstübertrittszeiten sind und bestimmen die gemeinsame Verteilung von Erstübertrittszeit und Overshoot für eine große Klasse von Innovationen. Mithilfe des Prinzips des stetigen Übergangs erhält man explizite Lösungen.

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Christensen, Sören: Contributions to the theory of optimal stopping. 2010.

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