Beiträge zur Theorie des mehrfachen optimalen Stoppens

Jürgens, Stephan

Gegenstand dieser Arbeit sind Stoppprobleme mit mehreren Ausübungsrechten im kontinuierlichen Modell mit endlichem und unendlichem Zeithorizont. Zu Beginn wird die Theorie des optimalen Stoppens mit endlich vielen Ausübungsrechten auf den unendlichen Fall übertragen. Insbesondere wird gezeigt, dass der faire Preis einer Option mit unendlich vielen Ausübungsrechten gleich dem einer anderen Option mit einem Ausübungsrecht ist. Weiter ist diese Option mit einem Ausübungsrecht so konstruiert, dass deren optimale Strategien die der Option mit unendlich vielen Ausübungsrechten charakterisieren. Danach wird die allgemeine Theorie in der Markovschen Stoppsituation spezifiziert. Anschließend wird ein kontinuierliches Modell mit endlichem Horizont betrachtet: Es werden verschiedene Möglichkeiten beschrieben, die mehrfachen Stoppprobleme in diesem Modell zu formulieren, und es wird auf Auszahlungsprozesse eingegangen, die auch negative Werte annehmen können. Die zuvor betrachteten mehrfachen Optimierungsprobleme mit unendlichem Horizont erhält man als Grenzübergang bei Stoppproblemen mit endlichem Horizont. Während bisher zwischen den einzelnen Ausübungsstrategien ein Zeitfenster von einer fest vorgegebenen Länge liegen muss, werden abschließend Optimierungsprobleme betrachtet, in denen diese vorgegebene Länge eine zufällige Größe ist. Es werden zwei Möglichkeiten betrachtet, diese zufälligen Wartezeiten zu modellieren, und die vorherigen Ergebnisse auf diese Modelle übertragen. Die allgemeine Theorie wird für den Auszahlungsprozess einer amerikanischen Put-Option spezifiziert und für die Optimierungsprobleme mit zufälligen Wartezeiten wird eine duale Darstellung beschrieben.

This thesis deals with problems of optimal stopping involving multiple exercise rights in continuous time with finite and infinite time horizon. First the theory of optimal stopping with finitely many exercise rights is carried over to the case of infinitely many exercise rights. In particular it is proved that the fair price of an option with infinitely many exercise rights is the price of another option with only one exercise right. Furthermore this option with one exercise right is constructed in such a manner that its optimal strategies characterize the optimal strategies for the option with infinitely many exercise rights. Thereafter this general theory is specified for Markovian problems. Afterwards a continuous time model with finite time horizon is considered: Different alternatives for introducing multiple exercise problems in this model are described, and processes with possibly negative payoff are also treated. The optimization problems discussed before can be obtained as a limit of these problems with finite time horizon. While up to this point a fixed time span between two exercise times was required, finally optimization problems with random time spans are considered. Two possibilities for modeling this random time span are studied and the results obtained so far are carried over to these models. The general theory is specified for an American put option. Furthermore a dual representation for optimization problems with random time spans is described.

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Jürgens, Stephan: Beiträge zur Theorie des mehrfachen optimalen Stoppens. 2011.

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