Über die Größe der Einzugsbereichedes Newtonverfahrens transzendenter ganzer Funktionen

Deimling, Julka

Eines der bekanntesten numerischen Verfahren zur Approximation von Nullstellen differenzierbarer Funktionen ist das Newtonverfahren. In dieser Arbeit schätzen wir die Größe der Einzugsbereiche der Nullstellen gewisser Funktionen unter dem Newtonverfahren ab. Dabei bezeichnen wir die Menge aller Punkte, die unter Iteration des Newtonverfahrens gegen eine Nullstelle der betrachteten Funktion konvergieren, als Einzugsbereich. Für geeignet normierte Polynome gab Kriete eine Abschätzung der Größe der Einzugsbereiche. Er bewies insbesondere, dass für solche Polynome der Flächeninhalt der Einzugsbereiche unendlich ist. In dieser Arbeit zeigen wir ähnliche Ergebnisse für reelle transzendente ganze Funktionen, deren Ordnung durch zwei beschränkt ist. Dass man für Funktionen höherer Ordnung derartige Ergebnisse nicht erwarten kann, erhält man aufgrund eines Ergebnisses von Haruta. Sie bewies, dass schon für Funktionen, die die Gestalt f(z) = P(z) · exp(Q(z)) haben, wobei P ein Polynom vom Grad größer als zwei und Q ein beliebiges Polynom ist, die Größe der Einzugsbereiche endlich sind. Wir werden beweisen, dass für Funktionen aus der Laguerre-Pólya-Klasse (LP) die Einzugsbereiche der Fixpunkte des Newtonverfahrens unendlichen Flächeninhalt besitzen. Dabei besteht die Laguerre-Pólya-Klasse aus den Funktionen, die sich lokal gleichmäßig durch reelle Polynome mit ausschließlich reellen Nullstellen approximieren lassen. Es gilt der folgende Satz. Satz 1 Es sei f ∈ LP oder allgemeiner f von der Gestalt f = g · P, wobei g ∈ LP und P ein reelles Polynom ist. Ferner sei z_0 ∈ C eine Nullstelle von f und U der unmittelbare Einzugsbereich von z_0 bezüglich des Newtonverfahrens. Dann gilt area(U) = ∞. Mit Hilfe des Ergebnisses über LP-Funktionen beweisen wir, dass für Flächeninhalte reeller transzendenter ganzer Funktionen der Ordnung kleiner als zwei eine quantitative Abschätzung nach unten möglich ist. Es gilt folgender Satz. Satz 2 Es sei f : C → C eine transzendente ganze Funktion endlicher Ordnung ρ≥0 mit f(R) ⊂ R, welche nur endlich viele nicht reelle Nullstellen habe. Weiter sei z_0 ∈ C eine Nullstelle von f und U der unmittelbare Einzugsbereich von z_0 bezüglich des Newtonverfahrens. Ferner sei ε ∈ R>0. Dann existiert eine Konstante R_0>0 derart, dass area (U ∩ A(0, R_0, R)) ≥ R^{2−ρ−ε} für alle R >2_R0. Insbesondere gilt area(U) = ∞, falls ρ < 2 ist.

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Deimling, Julka: Über die Größe der Einzugsbereichedes Newtonverfahrens transzendenter ganzer Funktionen. 2011.

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