Solving the two-time Kadanoff-Baym equations : Application to model atoms and molecules

Balzer, Karsten

The method of nonequilibrium Green functions (NEGFs) constitutes a solid framework to describe closed and open quantum systems. It captures situations far from equilibrium including arbitrary perturbations and correlations - effects higher than first order in the binary interactions. On the contrary, in the absence of external fields, it reduces to the imaginary-time Matsubara formalism. The abilities (and successes) of the method originate from its self-consistency and the conserving character of many-body approximations that are introduced by diagram technique. On this account, NEGFs have, now for a long time, brought insight into the dynamics of nuclear matter, non-ideal quantum gases and (semiconductor) plasmas. However, applications to localized, finite and strongly interacting systems have emerged only within the recent decade. The dynamical properties follow from quantum kinetic equations - the two-time Kadanoff-Baym equations for the one-particle NEGF - the numerical solution of which is the central topic of this thesis. The non-Markovian structure of these equations thereby inhibits an unlimited, gradual propagation of the nonequilibrium Green function: Any self-consistent, future dynamics of the system is tightly linked to the (complete) past by non-local self-energies. Further, the success in obtaining solutions is being diminished if the system under investigation is not isotropic or inhomogeneous and, in addition, the spatial topology (e.g., the charge carrier or spin density) needs to be resolved in time. On top of this, small isolated systems are generally not candidates showing fast decoherence which offers little hope for smooth and well-damped integration kernels. Despite these difficulties, the thesis at hand is devoted to the computation of the two-time NEGF for finite, closed systems of which ensembles of electrons bound by nuclei forming atoms or molecules are the most natural representatives. Here, in the spirit of the well-studied one-dimensional helium atom, the electron dynamics in model atoms and molecules is addressed in ab initio fashion. To render calculations possible in the first place, (i) a novel hybrid representation of the NEGF is introduced based on the conception of finite elements (FE) and the discrete variable representation (DVR), and (ii) a parallel algorithm is developed that allows for an efficient, well scalable distributed-memory computation of the full two-time Green function. The first point attributes plenty of flexibility and makes the method readily adjustable to different Hamiltonians avoiding the need to, by hand or in intricate numerical manner, calculate the whole bunch of matrix elements of one- and two-particle operators. Also, in consequence, it drastically simplifies the evaluation of self-energies. The second point makes the NEGF approach ready for large-scale, high-performance computing facilities, the resources (of computer power: mainly memory!) of which are indispensable for (some of) the calculations presented. The applicability of the developed methods is demonstrated inter alia on the basis of helium, beryllium, hydrogen and lithium hydride modeled in one spatial dimension whereby electron-electron correlations are treated in the second(-order) Born approximation. After a thorough discussion on the self-consistent ground states, the thesis focuses on the electron dynamics in the linear response regime as well as in the presence of strong external fields. Overall, to assess the the performance of the second Born approximation, the results are compared to the Hartree-Fock approximation, on the one hand, and to the exact solution of the time-(in)dependent Schrödinger equation, on the other hand. In addition, aiming at the possibility of extended time-dependent calculations, the behavior of the generalized Kadanoff-Baym ansatz is discussed.

Die Methode der Nichtgleichgewicht-Greenfunktionen (NGGF) stellt ein robustes Verfahren dar, um sowohl abgeschlossene als auch offene Quantensysteme zu beschreiben. Es erlaubt die Betrachtung der Vielteilchendynamik unter dem Einfluss von Korrelationen - Effekten von höherer als zweiter Ordnung in der Wechselwirkung - und beliebiger Störungen fern vom Gleichgewicht. In Abwesenheit externer Felder reduziert sich die Theorie dagegen auf den imaginärzeitlichen Matsubara Formalismus. Die Stärken (und die Erfolge) der Methode liegen in ihrer Selbstkonsistenz und in der Möglichkeit diagrammatische Vielteilchennäherungen einzuführen, die makroskopische Erhaltungssätze erfüllen. Diesen Eigenschaften ist es zu verdanken, dass NGGFen erfolgreich zur Beschreibung von Kernmaterie, nichtidealen Quantengasen und (Halbleiter-)Plasmen verwendet werden. Anwendungen auf endliche, lokalisierte und stark wechselwirkende Systeme sind jedoch erst innerhalb der letzten zehn Jahre erfolgt. Die dynamischen Eigenschaften folgen aus quantenkinetischen Gleichungen - den zweizeitigen Kadanoff-Baym Gleichungen für die Einteilchen-NGGF -, deren numerische Lösung zentraler Gegenstand dieser Arbeit ist. Die nicht-Markovsche Struktur verhindert dabei eine unbegrenzte, schrittweise Propagation der Nichtgleichgewicht-Greenfunktion: Jede selbstkonsistente, zukünftige Entwicklung des Systems ist durch nichtlokale Selbstenergien streng mit seiner (gesamten) Vorgeschichte verknüpft. Weiter erschwert wird die Lösung, wenn das zu untersuchende System nicht isotrop oder inhomogen ist, so dass zusätzlich die räumliche Topologie (z.B. die Ladungs- oder Spindichte) aufgelöst werden muss. Überdies hinaus weisen kleine, isolierte Systeme generell große Kohärenzzeiten auf, was wenig Hoffnung zur Annahme von glatten und deutlich gedämpften Stoßintegralen bietet. Trotz dieser Schwierigkeiten beschäftigt sich die vorliegende Dissertation mit der Berechnung der zweizeitigen NGGF von endlichen, abgeschlossenen Systemen. Im Sinne des wohl untersuchten eindimensionalen Heliumatoms wird die Elektronendynamik in Modellatomen und -molekülen aufgegriffen. Die Beschreibung erfolgt dabei ab initio. Um die Rechnungen überhaupt zu ermöglichen, wird (i) eine neuartige Hybriddarstellung der NGGF angewendet, die auf der Idee von finiten Elementen (FE) und der diskreten Variablendarstellung (DVR) beruht, und (ii) wird ein paralleler Algorithmus entwickelt, der eine effiziente, gut skalierbare Berechnung der vollen zweizeitigen Greenfunktion unter Berücksichtigung von verteiltem Speicher erlaubt. Die FE-DVR-Darstellung ist dabei leicht übertragbar auf unterschiedliche Systeme und Wechselwirkungen, ohne dass die Matrixelemente von Ein- und Zweiteilchenoperatoren jedes Mal in komplizierter Weise neu berechnet werden müssen. Außerdem lässt sich eine drastische Vereinfachung der Selbstenergien erzielen. Der zweite Punkt ermöglicht die Nutzung von Hoch- und Höchstleistungsrechnersystemen, deren Resourcen (in Computerleistung: hauptsächlich Speicher!) unabdingbar sind für (einige) der durchgeführten Rechnungen. Die Anwendbarkeit der entwickelten Methoden wird unter anderem für Helium, Beryllium, Wasserstoff und Lithiumhydrid gezeigt, wobei sich die Elektronen in einer Raumdimension bewegen und Elektron-Elektron-Korrelationen in der zweiten Bornschen Näherung behandelt werden. Nach einer sorgfältigen Diskussion der selbstkonsistenten Grundzustände beschäftigt sich die vorliegende Arbeit mit der Elektronendynamik sowohl im Linear Response Bereich als auch unter dem Einfluss starker externer Felder. Dabei werden die Resultate einerseits mit der Hartree-Fock-Näherung verglichen und andererseits der exakten Lösung der zeit(un)abhängigen Schrödinger-Gleichung gegenübergestellt, um die Güte der zweiten Bornschen Näherung zu untersuchen.

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Balzer, Karsten: Solving the two-time Kadanoff-Baym equations. Application to model atoms and molecules. 2011.

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