Schnittvolumina hochdimensionaler konvexer Körper

Brzezinski, Patryk

This thesis deals with volumes of hyperplane sections of convex and star-shaped bodies. In the first part we study the extremal volumes of central hyperplane sections of unit balls in the space l_p^n(l_2^m) for all p ∈ (0,2] ∪ {∞} and m, n ∈ IN. To this end we give multiple formulas for volumes and use them to show that the normal vector (1,0,...,0) generates the minimal volume in the case p = ∞. Furthermore we give an upper bound for the (n−1)-dimensional volumes for m ∈ IN≥3 and p = ∞. For n → ∞ this bound is attained for the normal vector (1/√n,...,1/√n). Another central result of this thesis is the statement that the normal vector (1/√n,...,1/√n) minimizes and that (1,0,...,0) maximizes the volume for p ∈ (0,2]. In the second part we consider the extremal volumes of slabs in the unit ball in the space l_∞^n(l_2^m). We give volume formulas for slabs to prove that the volume of the slab orthogonal to (1,0,...,0) with width t is minimal for all t ∈ [0,(m+2)/(m+3)] and m ∈ IN≤3. Moreover we discuss the case m ∈ IN≥4. Futhermore we prove the following fact: The volume of the slab orthogonal to (1/√2,1/√2,0,...,0) with width t is smaller than the volume of the slab orthogonal to (1/√n,...,1/√n) with width t for all arbitrary small t ∈ IR≥0, for all m ∈ IN≥3 and almost all n ∈ IN. For m = 1 we show an analogous result to that obtained for the estimation of the volumes of sections: The volume of a slab with very small width orthogonal to (1/√2,1/√2,0,...,0) is maximal compared to all other volumes of slabs with corresponding width and a large class of normal vectors. For m = 2 we obtain that for a slabs of width t and normal vector (1/√2,1/√2,0,...,0) the volume is smaller than the volume for a slab of width t and normal vector (1/√n,...,1/√n) for all t ∈ [1/n, 5/11]. In the third part we study volumes of non-central sections and slabs in the unit ball of the space l_∞^n(l_2^1) more detailed. We get further volume formulas and additionally find the global minimal and maximal values for the 2- and 3-dimensional l_1-ball given the distance to the origin respectively the width of the slab. In the last part of this thesis we consider sections through the centroid of the n-dimensional regular simplex. We state a volume formula and show that √(n+1)/(n-1)!*1/√(3e)*1/e is a lower bound for the volume of sections through the centroid.

In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit Schnittvolumina in konvexen und sternförmigen Körpern, die durch Hyperebenen induziert werden. Wir studieren zunächst die kritischen Volumina der Schnitte von Hyperebenen mit der Einheitskugel aus dem Raum l_p^n(l_2^m) für alle p ∈ (0,2] ∪ {∞} und m, n ∈ IN. Dazu stellen wir mehrere Volumenformeln für Schnitte auf und zeigen mit ihnen, dass der Normalenvektor (1,0,...,0) das minimale Volumen des Schnittes durch den Ursprung für p = ∞ erzeugt. Weiterhin geben wir eine obere Abschätzung für die (n−1)-dimensionalen Volumina für den Fall m ∈ IN≥3 und p = ∞ an. Im Grenzfall n → ∞ wird diese Schranke für den Normalenvektor (1/√n,...,1/√n) angenommen. Ein weiterer Schwerpunkt dieser Arbeit ist der Beweis der Aussage, der Normalenvektor (1/√n,...,1/√n) erzeuge das minimale und der Normalenvektor (1,0,...,0) das maximale Volumen des Schnittes durch den Ursprung für p ∈ (0,2]. Im zweiten Themenblock dieser Arbeit untersuchen wir die kritischen Volumina von Schichten in der Einheitskugel des Raumes l_∞^n(l_2^m). Hierbei formulieren wir mehrere Volumenformeln für Schichten, um im weiteren Verlauf mit ihrer Hilfe zu zeigen, dass das Volumen der Schicht senkrecht zu dem Normalenvektor (1,0,...,0) mit der Breite t minimal für alle t ∈ [0,(m+2)/(m+3)] und m ∈ IN≤3 ist. Ferner diskutieren wir den Fall m ∈ IN≥4. Weiterhin beweisen wir das Folgende: Das Volumen der Schicht senkrecht zu dem Normalenvektor (1/√2,1/√2,0,...,0) der Breite t ist kleiner als das Volumen der Schicht senkrecht zu dem Normalenvektor (1/√n,...,1/√n) der Breite t für alle beliebig kleinen t ∈ IR und für alle m ∈ IN≥3 sowie fast alle n ∈ IN. Für den Fall m = 1 zeigen wir das Analogon zu der Abschätzung des Volumens von Schnitten, und zwar, dass das Volumen der Schicht mit sehr dünner Breite Richtung des Vektors (1/√2,1/√2,0,...,0) maximal unter allen Volumina der entsprechenden Schichtbreiten und einer Vielzahl von Richtungen ist. Der Fall m = 2 ergibt sich für die Schicht der Breite t Richtung des Vektors (1/√2,1/√2,0,...,0) ein kleineres Volumen als für die Schicht der Breite t Richtung des Vektors (1/√n,...,1/√n) für alle t ∈ [1/n, 5/11]. Im dritten Themenbereich der Arbeit befassen wir uns noch genauer mit den Volumina von Schnitten, nicht notwendigerweise durch den Ursprung, und Schichten der Einheitskugel des Raumes l_1^n(l_2^1). Für diese stellen wir weitere Volumenformeln auf und errechnen mit ihnen für den 2- und 3-dimensionalen l_1-Ball die globalen Minima und Maxima in Abhängigkeit des Abstandes vom Ursprung bzw. der Dicke der Schicht. Der letzte Gegenstand dieser Arbeit ist das Studium der Schnitte durch den Schwerpunkt des n-dimensionalen regulären Simplex. Wir entwickeln eine Volumenformel für diese und zeigen, dass √(n+1)/(n-1)!*1/√(3e)*1/e eine untere Schranke für alle Schnittvolumina durch den Schwerpunkt ist.

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Brzezinski, Patryk: Schnittvolumina hochdimensionaler konvexer Körper.

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