Representation type and Auslander-Reiten theory of Frobenius-Lusztig kernels

Külshammer, Julian

In 1990 George Lusztig introduced a quantum analogue of restricted enveloping algebras of Lie algebras, the small quantum groups. In his PhD thesis Christopher M. Drupieski generalized these to analogues of Frobenius kernels, the Frobenius-Lusztig kernels. They depend on three parameters, the characteristic p of the field, the order \ell of a root of unity and the height r. The case r = 0 gives the small quantum groups defined by George Lusztig. Our thesis concerns basic classification questions from classical representation theory of these algebras. The determination of the representation type of an algebra answers the question if it is (at least theoretically) possible to classify the indecomposable modules of a given algebra up to isomorphism. If the small quantum group is not attached to an sl2, we show that all blocks different from the simple Steinberg block are of wild representation type. The sl2-case was known before: the small half-quantum groups are tame, their half-quantum groups are representation-finite. The higher Frobenius-Lusztig kernels are all wild with the exception of explicitly known SL(2)-blocks in height one and the simple Steinberg blocks. For this result we have to assume certain niteness assumptions on cohomology which are known in the height zero case, but not proven in general. The Borel and nilpotent parts of the higher Frobenius-Lusztig kernels are wild. Auslander-Reiten theory is a tool to understand the module category of a finite dimensional algebra by describing the irreducible homomorphisms. The isomorphism classes of indecomposable modules and the irreducible maps are arranged in an oriented graph, the Auslander-Reiten quiver. We are interested in the shape of the connected components of this quiver. In the tame and representation-finite cases, the Auslander-Reiten quiver of the Frobenius-Lusztig kernels is completely understood. For the wild cases we assume G is not SL(2). It was known before that the connected components of the Auslander-Reiten quiver of a Frobenius-Lusztig kernel are attached to a (finite or innite) Dynkin diagram or a Euclidean diagram. For the Frobenius-Lusztig kernels we show that there are no components attached to finite Dynkin or Euclidean diagrams. In the height zero case we show that the components containing the restriction of a module for the infinite dimensional quantum group U_\zeta(g) are attached to A_\infty. For the small half-quantum groups we show that the components containing compatibly graded modules, i.e. modules for u_\zeta(b)U_\zeta^0(g) are also attached to A_\infty.

George Lusztig definierte 1990 Analoga zu eingeschränkten Einhüllenden von Liealgebren im Quantenfall, die kleinen Quantengruppen. Christopher M. Drupieski verallgemeinerte Lusztigs Definition auf Quanten-Analoga von Frobenius-Kernen, die Frobenius-Lusztig-Kerne. Diese hängen von drei Parametern ab, der Charakteristik p des zugrunde liegenden Körpers, der Ordnung \ell einer Einheitswurzel und einer Höhe r. Im Fall der Höhe null gelangt man zu den von George Lusztig definierten kleinen Quantengruppen. In dieser Arbeit geht es um grundlegende Fragen klassischer Darstellungstheorie dieser Algebren. Der Darstellungstyp einer Algebra gibt an, ob es (zumindest theoretisch) möglich ist die unzerlegbaren Moduln einer gegebenen Algebra bis auf Isomorphie zu klassifizieren. Kommt eine kleine Quantengruppe nicht von der Lie-Algebra sl2, so zeigen wir, dass all ihre Blöcke mit Ausnahme des einfachen Steinberg-Blocks wilden Darstellungstyp haben. Der Fall sl2 war schon vorher bekannt: In diesem Fall sind die kleinen Quantengruppen zahm, die halben kleinen Quantengruppen sogar darstellungsendlich. Auch die höheren Frobenius-Lusztig-Kerne sind - mit Ausnahme explizit bekannter SL(2)-Blöcke in Höhe eins und der einfachen Steinberg-Blöcke - alle wild. Wir beweisen dieses Resultat unter der Annahme bestimmter Endlichkeitsbedingungen an die Kohomologie. Diese sind für Höhe null bekannt, im Allgemeinen jedoch nicht bewiesen. Der Borel- und der nilpotente Teil der höheren Frobenius-Lusztig-Kerne sind wild. Auslander-Reiten-Theorie ist ein Werkzeug um die Modul-Kategorie einer endlich-dimensionalen Algebra zu verstehen, indem man irreduzible Homomorphismen beschreibt. Man bildet aus den Isomorphieklassen der unzerlegbaren Moduln und diesen irreduziblen Abbildungen einen orientierten Graphen, den Auslander-Reiten-Köcher. In dieser Arbeit interessieren wir uns für die Form der Zusammenhangskomponenten dieses Köchers. In den zahmen und darstellungsendlichen Fällen versteht man den Auslander-Reiten-Köcher der Frobenius-Lusztig-Kerne vollständig. Im wilden Fall nehmen wir G ungleich SL(2) an. Es war bekannt, dass die Zusammenhangskomponenten des Auslander-Reiten-Köchers eines Frobenius-Lusztig-Kerns immer aus einem (endlichen oder unendlichen) Dynkin-Diagramm oder einem Euklidischen Diagramm konstruiert werden können. Im Fall der Frobenius-Lusztig-Kerne zeigen wir, dass der Fall endlicher Dynkin-Diagramme und der Fall Euklidischer Diagramme nicht eintreten können. Im Fall r=0 können wir sogar zeigen, dass, wenn die Komponente die Einschränkung eines Moduls für die unendlich-dimensionale Quantengruppe U_\zeta(g) enthält, sie aus dem unendlichen Dynkin-Diagramm A_\infty entstanden ist. Für die halben kleinen Quantengruppen zeigen wir, dass die Komponenten, die verträglich graduierte Moduln, also Moduln für u_\zeta(b)U^0_\zeta(g), enthalten, auch von A_\infty kommen müssen.

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Külshammer, Julian: Representation type and Auslander-Reiten theory of Frobenius-Lusztig kernels. 2012.

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