Über Schraubenmannigfaltigkeiten im R^n

Scheffel, Martin

Eine Kurve c im N-dimensionalen, euklidischen Raum R^N, deren Frenetkrümmungen konstant sind, heißt Schraubenlinie. Es seien M eine n-dimensionale, vollständige, zusammenhängende Untermannigfaltigkeit in R^N und c eine Geodätische in M. Dann heißt M helikale Mannigfaltigkeit, wenn alle Geodätischen Schraubenlinien mit denselben Frenetkrümmungen sind. Es ist bekannt, dass eine helikale Mannigfaltigkeit entweder ein affiner Untervektorraum oder eine Blaschkemannigfaltigkeit ist. Ferner sind helikale Mannigfaltigkeiten genau diejenigen Untermannigfaltigkeiten, so dass jede Geodätische in jedem Punkt Normalschnitt ist. Wir geben zunächst einen neuen Beweis dafür, dass alle Geodätischen in der helikalen Mannigfaltigkeit M Normalschnitte sind. Wir zeigen dann, dass Jacobifelder J längs c von der Form J(t) = A c(t) + b mit einer schiefsymmetrischen Matrix A in so(N) und einem b in R^N sind. Ferner erfüllt eine nur durch A und b bestimmte (n+1)x(n+1)- Matrix eine lineare Gleichung, die nur von c abhängt. Sind Y und Z zwei Jacobifelder längs c gegeben durch Y_i(t) = A_i c(t) + b_i, ist auch die von [A_1, A_2] und A_1 b_2 − A_2 b_1 bestimmte (n+1)x(n+1)- Matrix eine Lösung dieser linearen Gleichung. Ihr Lösungsraum wird bestimmt durch einen adX-invarianten Teilraum von so(N) und die Eigenwerte von X und adX. Sind J_1,...,J_n orthogonale Jacobifelder längs c, so heißt die Nxn- matrixwertige Funktion Y mit Y(t) = (J_1(t),...,J_n(t)) Jacobitensor. Es gilt (Y'(t))^T Y(t) - (Y(t))^T Y'(t) = konstant. Ist diese Konstante 0, so heißt Y Lagrangetensor. Für alle t in einem Intervall I sei die Matrix (Y(t))T Y(t) invertierbar. Dann lässt sich auf I jeder Jacobitensor durch zwei nxn- Matrizen aus Y bestimmen. Wir zeigen, dass es einen Lagrangetensor gibt, der Folgendes erfüllt: Mit z= exp(it) ist det ((Y(t))^T Y(t)) = C z^(−l) ( z − z_1 )^2 ... ( z − z_l )^2 mit paarweise verschiedenen Nullstellen z_j. Die Partialbruchzerlegung von ((Y(t))^T Y(t))^(-1) hat eine einfache Form. Ist M eine Fläche und Y(0) = 0, so folgt hieraus ein neuer Beweis für Nikolayevskys Satz, dass eine Fläche M in R^N mit einfachen Geodätischen, d.h. deren Geodätische Schraubenlinien sind, konstante nicht negative Gaußkrümmung trägt.

An English abstract is included in the dissertation.

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Scheffel, Martin: Über Schraubenmannigfaltigkeiten im R^n.

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