Second-order approximations to pricing and hedging in presence of jumps and stochastic volatility

Denkl, Stephan

This thesis deals with two basic problems of Mathematical Finance, namely the pricing and hedging of European-style derivatives. We analyze these questions in models that describe the asset underlying the derivative by a process with jumps and stochastic volatility. However, we are not interested in exact solutions to the mentioned problems but in reasonable approximations that allow for a better insight into the structure of the respective question. More precisely, we consider hedging problems in geometric Lévy models, i.e., in models where the logarithmic price process of the underlying follows a process with independent and stationary increments. In this kind of models, there typically exist no perfect hedging strategies. We quantify the remaining risk of a self-financing trading strategy by its mean squared hedging error, i.e., the second moment of the difference between the payoff of the derivative and the terminal wealth of the hedging portfolio. We study the question of derivative pricing in a comprehensive model class that encompasses geometric Lévy models and several stochastic volatility models from the literature. In doing so, we consider prices that are compatible with the absence of arbitrage, i.e., prices that do not allow for riskless gains. For several hedging strategies, for their hedging errors, as well as for derivative prices in the described framework, the literature provides semi-explicit representations that can be efficiently evaluated numerically for many parametric models. However, these representations admit little understanding, e.g., of the determining factors of the respective quantity. We develop approximate solutions that provide more insight in this respect. To this end, we interpret the complex model with jumps and stochastic volatility as a perturbed Black-Scholes model, and we compute correction terms of second order. Our approach differs from traditional perturbation techniques in the sense that in our case, there is no univariate problem-inherent parameter that quantifies the amount of perturbation. Therefore, we develop a general framework for perturbation approaches in this situation, and we apply this approach in the models under consideration. The approximate solutions obtained in this way consist of few moments of components of the asset price process as well as of sensitivities (greeks) of the Black-Scholes derivative price. In particular, the formulas do not depend on the fine structure of the considered model and are robust in this sense. We show in detailed numerical experiments that our approximations yield satisfactory results in several parametric models from the literature.

In dieser Arbeit betrachten wir zwei grundlegende Probleme der Finanzmathematik, nämlich die Bewertung und die Absicherung (Hedging) von Derivaten mit europäischer Auszahlungsstruktur. Wir führen unsere Analyse in Modellen durch, die das dem Derivat zugrunde liegende Wertpapier durch einen Prozess mit Sprüngen und stochastischer Volatilität abbilden. Dabei interessieren wir uns nicht für exakte Lösungen der genannten Probleme, sondern für sinnvolle Näherungslösungen mit dem Hauptziel, einen besseren Einblick in die Struktur der jeweiligen Frage zu erhalten. Genauer betrachten wir Hedgingprobleme in geometrischen Lévy-Modellen, das heißt in Modellen, in denen der logarithmische Wertpapierkurs einem Prozess mit unabhängigen und stationären Zuwächsen folgt. In solchen Modellen existieren typischerweise keine perfekten Absicherungsstrategien. Das Restrisiko einer selbstfinanzierenden Hedgingstrategie bewerten wir durch den mean squared hedging error, das heißt durch das zweite Moment der Differenz von Derivatauszahlung und Endwert der Absicherungsstrategie. Die Frage der Derivatbewertung studieren wir in einer großen Modellklasse, die geometrische Lévy-Modelle, aber auch diverse stochastische Volatilitätsmodelle aus der Literatur umfasst. Dabei betrachten wir mit Arbitragefreiheit verträgliche Preise, das heißt solche, die risikolose Gewinne nicht zulassen. Für verschiedene Hedgingstrategien, für deren Hedgefehler sowie für Derivatpreise existieren für den von uns betrachteten Rahmen semi-explizite Darstellungen in der Literatur, die sich für viele parametrische Modelle numerisch effizient auswerten lassen. Allerdings erlauben diese Darstellungen wenig Einsicht zum Beispiel in die für die jeweilige Größe entscheidenden Einflussfaktoren. Wir entwickeln in dieser Hinsicht besser interpretierbare Näherungslösungen, die wir durch Perturbationstechniken gewinnen. Dazu fassen wir das komplexe Modell mit Sprüngen und stochastischer Volatilität als Störung eines einfachen Black-Scholes-Modells auf und berechnen Korrekturterme zweiter Ordnung. Ein wesentlicher Unterschied zu klassischen Perturbationsansätzen besteht darin, dass in unserem Fall kein dem Problem immanenter univariater Parameter existiert, der die Störung quantifiziert. Wir entwickeln deshalb zunächst einen allgemeinen Rahmen für Perturbationstechniken in dieser Situation und wenden diesen dann in den betrachteten Modellen an. Die so gewonnenen Näherungslösungen setzen sich aus wenigen Momenten von Komponenten des Wertpapierprozesses sowie aus Sensitivitäten (greeks) des Black-Scholes-Preises des betrachteten Derivats zusammen. Die Näherungen hängen insbesondere nicht von der Feinstruktur des betrachteten Modells ab und sind in diesem Sinne robust. In ausführlichen numerischen Experimenten zeigen wir, dass unsere Approximationen in verschiedenen parametrischen Modellen aus der Literatur zufriedenstellende Ergebnisse liefern.

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Denkl, Stephan: Second-order approximations to pricing and hedging in presence of jumps and stochastic volatility. 2013.

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