Module categories and Auslander-Reiten theory for generalized Beilinson algebras

Worch, Julia

Representation theory is concerned with understanding the modules over a given algebra. Two classes of algebras that are frequently studied are group algebras and algebras of finite global dimension, in particular hereditary algebras. In both settings, it is often the case that it is not possible to classify all indecomposable representations, i.e. the algebra is wild. In 2008, Carlson, Friedlander and Pevtsova introduced the class of modules of constant Jordan type as a subclass of the module category over a given group algebra. There is the more restrictive notion of modules with the equal images property. It turns out, however, that these module classes are still very complicated in general. Group algebras of elementary abelian p-groups are of immediate interest in the modular representation theory of finite groups. In a way, they constitute the smallest examples of wild group algebras and by Chouinard's theorem, projectivity of modules over a given group algebra can be tested via restrictions to elementary abelian p-groups. Carlson, Friedlander and Suslin have studied modules with the equal images property and modules of constant Jordan type over k(Z_p \times Z_p). They introduce the so-called W-modules which are prominent examples of modules with the equal images property. The indecomposable k(Z_p \times Z_p)-modules of Loewy length two can be identified with the indecomposables over the hereditary Kronecker algebra, where modules with the equal images property correspond to the preinjective modules. This thesis is inspired by the aim to understand modules with the equal images property over k (Z_p^{\times r}) for arbitrary r. We give a generalization of the W-modules. In order to study k (Z_p^{\times r})-modules with restricted Loewy length, we introduce generalized Beilinson algebras. Making use of a faithful exact functor from the module category of the generalized Beilinson algebra B(n,r) on n vertices into the module category of the group algebra, we define the constant Jordan type property and the equal images property for modules over B(n,r). A main achievement is that we are able to give a homological characterization of these subcategories by a family of modules of projective dimension one. A tool to organize a given module category is provided by the Auslander-Reiten quiver whose vertices correspond to isomorphism classes of indecomposable objects and whose arrows correspond to irreducible maps between indecomposables. By showing that the class of modules with the equal images property over B(n,r) is a torsion class with special properties, we are able to make statements about the relative position of modules with the equal images property in the Auslander-Reiten quiver \Gamma(n,r) of B(n,r). So far, not much is known about the connected components of \Gamma(n,r). We show that generalized W-modules determine ZA_\infty-components of \Gamma(n,r) that entirely consist of modules with the constant Jordan type property. Due to the fact that the algebra B(2,r) is isomorphic to the generalized Kronecker algebra, we can apply methods from the theory of wild hereditary algebras and show that each regular ZA_\infty-component of \Gamma(2,r), r>2, contains infinitely many modules with the equal images property, contrasting the findings for r=2.

Die Darstellungstheorie beschäftigt sich mit dem Studium von Moduln über einer gegebenen Algebra. Zwei Klassen von Algebren, die oft betrachtet werden, sind Gruppenalgebren und Algebren von endlicher globaler Dimension, insbesondere erbliche Algebren. In beiden Fällen ist es oft hoffnungslos, alle unzerlegbaren Darstellungen bestimmen zu wollen, das heißt, die Algebra ist wild. Carlson, Friedlander und Pevtsova haben 2008 die Klasse der Moduln von konstantem Jordan-Typ über einer gegebenen Gruppenalgebra eingeführt. Eine echte Unterklasse davon bilden die Moduln mit gleichen Bildern. Es stellt sich jedoch heraus, dass auch diese beiden Modulklassen im Allgemeinen sehr kompliziert sind. Gruppenalgebren elementar abelscher p-Gruppen sind von besonderem Interesse in der modularen Darstellungstheorie endlicher Gruppen. Sie stellen die minimalen Beispiele wilder Gruppenalgebren dar, und darüberhinaus lässt sich nach einem Satz von Chouinard die Projektivität von Moduln über einer gegebenen Gruppenalgebra durch Restriktionen auf elementar abelsche p-Gruppen testen. Carlson, Friedlander und Suslin haben Moduln mit gleichen Bildern über k(Z_p \times Z_p) studiert und die sogenannten W-Moduln, eine Beispielklasse von Moduln mit gleichen Bildern, definiert. Die unzerlegbaren k(Z_p \times Z_p)-Moduln von Loewy-Länge zwei lassen sich mit den unzerlegbaren Moduln über der erblichen Wegealgebra des Kronecker-Köchers identifizieren. Hierbei entsprechen die Moduln mit gleichen Bildern den präinjektiven Moduln. Diese Arbeit ist dadurch motiviert, Moduln mit gleichen Bildern über k(Z_p^{\times r}) für beliebiges r verstehen zu wollen. Wir geben eine Verallgemeinerung der W-Moduln an. Um k(Z_p^{\times r})-Moduln mit beschränkter Loewy-Länge zu studieren, betrachten wir verallgemeinerte Beilinson-Algebren. Die Existenz eines treuen, exakten Funktors von der Modulkategorie der verallgemeinerten Beilinson-Algebra B(n,r) auf n Knoten in die Modulkategorie von k(Z_p^{\times r}) lässt uns Moduln mit gleichen Bildern und Moduln von konstantem Jordan-Typ über B(n,r) definieren. Ein Hauptresultat ist die homologische Charakterisierung dieser Modulkategorien über eine Familie von Moduln mit projektiver Dimension eins. Der sogenannte Auslander-Reiten-Köcher ist ein Hilfsmittel, um die Modulkategorie einer Algebra zu strukturieren. Seine Knoten entsprechen den Isomorphieklassen unzerlegbarer Moduln und seine Pfeile irreduziblen Abbildungen. Wir zeigen, dass die Klasse der Moduln mit gleichen Bildern über B(n,r) eine Torsionsklasse mit speziellen Eigenschaften ist. Dadurch können wir Beobachtungen bezüglich der relativen Position von Moduln mit gleichen Bildern im Auslander-Reiten-Köcher \Gamma(n,r) von B(n,r) anstellen. Bislang ist über die Zusammenhangskomponenten von \Gamma(n,r) wenig bekannt. Wir zeigen dass die verallgemeinerten W-Moduln in ZA_\infty-Komponenten liegen, in denen alle Moduln von konstantem Jordan-Typ sind. Da die Algebra B(2,r) isomorph zur verallgemeinerten Kronecker-Algebra ist, können wir Methoden aus der Theorie der wilden erblichen Algebren anwenden und zeigen, dass für r>2 jede reguläre Komponente von \Gamma(2,r), im Gegensatz zum Fall r=2, unendlich viele Moduln mit gleichen Bildern enthält.

Preview

Cite

Citation style:

Worch, Julia: Module categories and Auslander-Reiten theory for generalized Beilinson algebras. 2013.

Rights

Use and reproduction:
No CC License (german copyright law applies)

Export