On Functions in the Speiser Class with One Tract

Albrecht, Simon

Let f be a transcendental entire map. A complex number w is called critical value of f if there exists a complex number z such that f'(z)=0 and f(z)=w. A complex number b is called an asymptotic value of f if there exists a curve \gamma with \gamma(t)\to\infty as t\to\infty but f(\gamma(t))\to b as t\to\infty. The singular set of f is the set consisting of all critical and asymptotic values of f. The set B of all transcendental entire functions with a bounded singular set is called Eremenko-Lyubich class. The Speiser class S consists of all functions in class B where the singular set is not only bounded but finite. These classes have been thoroughly studied, notably, in complex dynamics, which deals with the behaviour of an entire or rational map f under iteration. Of particular interest is the construction of functions in classes B and S with prescribed behaviour. One method to obtain maps in class B is using so-called Cauchy integrals. Gwyneth Stallard used this method to prove that for any d\in(1,2) there exists a function in class B whose Julia set has Hausdorff dimension equal to d. It is the shape of the tracts of her maps which yields the desired Hausdorff dimension. Here, a tract is a connected component of the set where the modulus of the function is large. The question arises whether Stallard's result also holds for maps in class S. While we are not able to answer this question, we show that there exist functions in class S whose tracts are in some sense similar to the tracts used by Stallard. The method of Cauchy integrals does generally not generate maps in class S. An alternative construction method is quasiconformal folding, which was recently introduced by Christopher Bishop. We use Bishop's method to construct quasiregular maps which only grow in one parabola shaped tract which is symmetric to the real axis and are bounded otherwise. Furthermore, we prove that for each constructed quasiregular map g there exists an entire function f in class S such that g=f\circ\phi for some quasiconformal homeomorphism \phi. Thus, the tract of f, which is still symmetric to the real axis, is the quasiconformal image of the tract of g. Moreover, the quasiconformal map involved is asymptotically conformal at infinity. We use this to prove that the maximum modulus M(r,f) of f on the circle with radius r is bounded below by a function which depends on the shape of the tract. In particular, we prove that there exists an entire map f in the class S with only one tract, which is symmetric to the real axis, such that \log\log M(r,f) is bounded below by d\cdot\sqrt{r} for some d>0.

Sei f eine ganz transzendente Funktion. Eine komplexe Zahl w heißt kritischer Wert der Funktion f, falls es eine kpomplexe Zahl z mit f'(z)=0 und f(z)=w gibt. Eine komplexe Zahl b heißt asymptotischer Wert von f, falls es eine Kurve \gamma mit \gamma(t)\to\infty für t\to\infty gibt, so dass f(\gamma(t))\to b gilt. Die Menge sing(f^{-1}) ist die Menge der Singularitäten der Umkehrfunktion von f und besteht aus allen kritischen und allen asymptotischen Werten von f. Die Menge B aller ganz transzendenter Funktionen derart, dass sing(f^{-1}) beschränkt ist, heißt Eremenko-Lyubich-Klasse. Die Speiser-Klasse S besteht aus allen Funktionen der Klasse B, deren Menge der Singularitäten der Umkehrfunktion sogar endlich ist. Insbesondere in der komplexen Dynamik, die sich mit dem Verhalten einer ganzen oder rationalen Funktion unter Iteration befasst, wurden diese Funktionenklassen ausgiebig untersucht. Die Konstruktion von Funktionen in den Klassen B und S mit vorgeschriebenem Verhalten ist von besonderem Interesse. Eine Möglichkeit, Funktionen der Klasse B zu konstruieren, sind sogenannte Cauchyintegrale. Gwyneth Stallard nutzte diese Methode, um zu beweisen, dass es für jedes d\in(1,2) eine Funktion in der Klasse B gibt, deren Juliamenge Hausdorff-Dimension d hat. Die Form der Trakte ihrer Funktionen bestimmt dabei die Hausdorff-Dimension. Dabei ist ein Trakt eine Zusammenhangskomponente der Menge, auf welcher der Absolutbetrag der Funktion groß ist. Es ergibt sich die Frage, ob Stallards Resultat auch für Funktionen der Klasse S gilt. Auch wenn wir diese Frage nicht beantworten können, so zeigen wir, dass es Funktionen in der Klasse S gibt, deren Trakte in gewissem Sinne den von Stallard genutzten Trakten ähneln. Im Allgemeinen sind Funktionen, die mithilfe von Cauchyintegralen konstruiert wurden, nicht in der Klasse S. Eine alternative Konstruktionsmethode ist die quasikonforme Faltung, die kürzlich von Christopher Bishop vorgestellt wurde. Wir nutzen Bishops Methode, um quasireguläre Funktionen zu konstruieren, die nur in einem parabelförmigen, zur reellen Achse symmetrischen Trakt wachsen und ansonsten beschränkt sind. Des Weiteren beweisen wir, dass es zu jeder so konstruierten quasiregulären Funktion g eine ganze Funktion f in der Klasse S gibt, so dass g=f\circ\phi für eine quasikonforme Abbildung \phi gilt. Somit ist der Trakt von f, welcher ebenfalls symmetrisch zur reellen Achse ist, ein quasikonformes Bild des Traktes von g. Ferner ist die hierbei genutzte quasikonforme Abbildung asymptotisch konform bei unendlich. Wir nutzen dieses, um zu zeigen, dass der Maximalbetrag M(r,f) von f auf dem Kreis mit Radius r von unten durch eine Funktion beschränkt ist, die von der Form des Traktes abhängt. Insbesondere beweisen wir, dass es eine ganze Funktion f in der Klasse S gibt, die nur einen Trakt hat, der ferner symmetrisch zur reellen Achse ist, so dass \log\log M(r,f) von unten durch d\cdot\sqrt{r} für ein d>0 beschränkt ist.

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Albrecht, Simon: On Functions in the Speiser Class with One Tract. 2015.

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