On the Measure of the Escaping Set of a Quasiregular Analogue of Sine

Vogel, Sebastian

Quasiregular maps are a natural generalisation of holomorphic maps to higher dimensions. Recently, there is an increasing interest in studying the dynamics of quasiregular maps on the $d$-dimensional Euclidian space. Until now, not much is known about the dynamical behaviour of general quasiregular maps. However, quasiregular analogues of the complex exponential map as well as of trigonometric functions have been constructed and turned out to behave quite similarly to their counterparts in the plane. In this thesis, we examine the dynamical behaviour of certain quasiregular maps on the $d$-dimensional Euclidian space which can be seen as quasiregular analogues of complex trigonometric functions. This class was introduced by Bergweiler and Eremenko in 2011. We will denote a member of this class by $\Sin(x)$. We are interested in the iteration of these maps, in particular in the escaping set consisting of all points that tend to infinity under iteration.\\ We prove the following results: Theorem 1 is an analogue of a well known result by McMullen from 1987. We show that for $f(x)=\lambda\Sin(x)$, where $\lambda>0$, the escaping set $I(f)$ has positive Lebesgue measure. In fact, this is also true for the fast escaping set $A(f)$ consisting of all points that essentially escape as fast as possible.\\ Theorem 2 states that the measure of the non-escaping set of $f$ in vertical square beams is finite. This corresponds to a result in the plane by Schubert from 2008 concerning the escaping set of $\sin(z)$ in vertical strips. Again, this is also true for the fast escaping set.\\ We also use the map $\Sin(x)$ to construct a quasiregular power mapping $P_m$ which is similar to a quasiregular power mapping introduced by Mayer based on Zorich maps. We discuss some properties of the map $P_m$. Theorem 3 then states that for $m\geq d+1$, the composition of the power mapping $P_m$ with a suitable quasiregular analogue of the trigonometric functions yields a quasiregular map with non-escaping set of finite measure. This generalises a result by Hemke from 2005. In the last section, we discuss the sharpness of Theorem 3.

Quasireguläre Abbildungen sind eine natürliche Verallgemeinerung holomorpher Abbildungen auf höhere Dimensionen. In letzter Zeit gibt es ein zunehmendes Interesse an der Untersuchung des dynamischen Verhaltens von quasiregulären Abbildungen auf dem $d$-dimensionalen euklidischen Raum. Noch ist nicht viel über das dynamische Verhalten von allgemeinen quasiregulären Abbildungen bekannt. Allerdings wurden quasireguläre Analoga der komplexen Exponentialabbildung sowie von trigonometrischen Funktionen konstruiert, welche sich aus dynamischer Sicht sehr ähnlich wie ihre Gegenstücke in der Ebene verhalten. In dieser Arbeit untersuchen wir das dynamische Verhalten von bestimmten quasiregulären Abbildungen auf dem $d$-dimensionalen euklidischen Raum, welche als quasireguläre Analoga von komplexen trigonometrischen Funktionen angesehen werden können. Diese Klasse wurde von Bergweiler und Eremenko im Jahr 2011 eingeführt. Wir bezeich\-nen eine Abbildung dieser Klasse mit $\Sin(x)$. Wir interessieren uns für die Iteration dieser Abbildungen, insbesondere für die entkommende Menge bestehend aus all jenen Punkten, welche unter Iteration nach unendlich streben.\\ Wir beweisen die folgenden Ergebnisse: Theorem 1 ist ein Analogon von einem bekann\-ten Resultat von McMullen aus dem Jahr 1987. Wir zeigen, dass die entkommende Menge von $f(x)=\lambda\Sin(x)$ für alle $\lambda>0$ positives Lebesguemaß hat. In der Tat stimmt dies auch für die schnell entkommende Menge $A(f)$, welche die Punkte enthält, die im Wesentlichen so schnell wie möglich entkommen.\\ Theorem 2 besagt, dass das Maß der nichtentkommenden Menge von $f$ in vertikalen Balken endlich ist. Dies entspricht einem Resultat in der Ebene von Schubert aus dem Jahr 2008 über die entkommende Menge von $\sin(z)$ in vertikalen Streifen. Theorem 2 gilt ebenfalls für die schnell entkommende Menge.\\ Außerdem verwenden wir die Abbildung $\Sin(x)$ um eine quasireguläre Potenzfunktion $P_m$ zu konstruieren. Diese Abbildung ähnelt einer von Mayer vorgestellten quasire\-gulären Potenzfunktion, welche auf Zorich Abbildungen aufbaut. Wir diskutieren einige Eigenschaften der Abbildung $P_m$. Theorem 3 besagt schließlich, dass die Komposition von $P_m$ mit einem geeigneten quasiregulären Analogon der trigonometrischen Funktionen eine quasireguläre Abbildung mit nichtentkommender Menge von endlichem Maß ergibt, sofern $m\geq d+1$. Dies verallgemeinert ein Ergebnis von Hemke aus dem Jahr 2005. Im letzten Abschnitt diskutieren wir die Schärfe von Theorem 3.

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Vogel, Sebastian: On the Measure of the Escaping Set of a Quasiregular Analogue of Sine. 2015.

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