Über Ränder von mehrfach zusammenhängenden wandernden Gebieten

Baumgartner, Markus

Wir untersuchen die Ränder von mehrfach zusammenhängenden wandernden Gebieten ganzer transzendenter Funktionen. Unter anderem zeigen wir, dass mehrfach zusammenhängende wandernde Gebiete ganzer transzendenter Funktionen unter gewissen Voraussetzungen von Jordankurven berandet sind. Für eine ganze oder rationale Funktion $f$ ist die \emph{Fatoumenge $\F(f)$} die Menge all der Punkte, in denen die Folge $f^n$ der Iterierten von $f$ eine normale Familie bildet, und die \emph{Juliamenge $\J(f)$} ist ihr Komplement. Eine Komponente $U$ der Fatoumenge nennen wir \emph{wandernd}, wenn $f^n(U)\neq f^m(U)$ für alle $n\neq m$ gilt. Sei $U=U_0$ ein mehrfach zusammenhängendes wanderndes Gebiet einer ganzen transzendenten Funktion $f$ und $U_n:=f^n(U)$. Dann ist $U_n$ beschränkt. Mit $\p_{\infty} U_{n}$ bezeichnen wir die Randkomponente von $U_n$, die $U_n$ von $\infty$ trennt und mit $\p_0 U_n$ die Randkomponente, die $U_n$ von $0$ trennt, wenn eine solche existiert. Wir zeigen, dass unter bestimmten Voraussetzungen $\p_{\infty} U_{n-1}=\p_0 U_n$ für alle $n\in\N$ gilt. Weiter zeigen wir, dass diese Ränder Jordankurven sind, und nutzen dies, um zu zeigen, dass viele andere Randkomponenten der $U_n$ Kurven sind. Unter diesen Voraussetzungen ist jede Randkomponente der $U_n$ eine Kurve, wenn zusätzlich $\p_0 U_n$ isoliert ist, das heißt, wenn sich keine weiteren Randkomponenten von $U_n$ bei $\p_0 U_n$ häufen. Diese Resultate schließen viele komplizierte topologische Strukturen für die Ränder der wandernden Gebiete aus und zeigen demnach, dass wandernde Gebiete vergleichsweise einfache Formen haben können. Schließlich zeigen wir, dass die Randkurven unter zusätzlichen Voraussetzungen sogar rektifizierbar sind. Außerdem geben wir Beispiele an, die unsere Resultate veranschaulichen. Wir betrachten mehrere Klassen von Funktionen mit wandernden Gebieten, die auf Beispiele von Baker zurückgehen, und zeigen, dass diese in viele Fällen von Kurven berandet sind. Unter anderem zeigen wir, dass für das erste Beispiel eines wandernden Gebietes von Baker aus dem Jahr 1976 und für das erste Beispiel eines unendlich-fach zusammenhängenden wandernden Gebietes aus dem Jahr 1985 die Ränder aus abzählbar vielen Jordankurven bestehen.

We investigate the boundaries of multiply connected wandering domains of entire transcendental functions. Among other things we show that under certain conditions the boundary components of multiply connected wandering domains of entire transcendental functions are Jordancurves. For an entire or rational function $f$ the \emph{Fatou set $\F(f)$} is the set of all points such that the sequence $f^n$ of iterates of $f$ form a normal family and the \emph{Julia set $\J(f)$} is its complement. A component $U$ of the Fatou set is called \emph{wandering} if $f^n(U)\neq f^m(U)$ holds for all $n\neq m$. Let $U=U_0$ be a multiply connected wandering domain of an entire transcendental function $f$ and $U_n:=f^n(U)$. Then $U_n$ is bounded. By $\p_{\infty} U_{n}$ we denote the boundary component of $U_n$ which separates $U_n$ from $\infty$ and by $\p_0 U_n$ we denote the boundary component which separates $U_n$ from $0$ if such a component exists. We show that under certain conditions $\p_{\infty} U_{n-1}=\p_0 U_n$ holds for all $n\in\N$. Moreover we show that these boundaries are Jordan curves and we use this to show that many boundary components of the $U_n$ are curves. Under these conditions all boundary components of $U_n$ are curves if we have in addition that $\p_0 U_n$ is isolated, which means that there are no other boundary components of $U_n$ which accumulate at $\p_0 U_n$. These results rule out many complicated topological structures for the boundaries and thus show that wandering domains can have comparatively simple forms. Finally we show that under additional conditions the boundary curves are in fact rectifiable. Furthermore, we give examples which illustrate our results. We consider several classes of functions with wandering domains which go back to Baker and show that these are in many cases bounded by curves. Among others we show that for the first example of a wandering domain by Baker from 1976 and for the first example of an infinitely connected wandering domain from 1985 the boundaries consist of countably many Jordan curves.

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Baumgartner, Markus: Über Ränder von mehrfach zusammenhängenden wandernden Gebieten.

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