Optimal investment and utility indifference pricing in the presence of small fixed transaction costs

Feodoria, Mark-Roman

This thesis deals with utility maximization from terminal wealth under fixed transaction costs. We consider an investor with constant absolute risk aversion trading in a market consisting of one safe and one risky asset with general Ito dynamics. We assume that she has to pay a fixed transaction cost for each trade regardless of its size. Using a non-Markovian dynamic programming approach, we derive candidate strategy for optimality. This strategy lies in a random and time-dependent interval around the frictionless optimizer, changes to the latter once the boundaries of this interval are breached and liquidates all stock positions if the corresponding wealth falls below a given (stochastic) threshold. We verify the (almost) optimality of the candidate under suitable regularity assumptions. Furthermore, we give two examples of models fulfilling these assumptions and present an application to utility indifference pricing. After weakening the regularity assumptions, we derive a pricing formula for the European put option in the Black-Scholes model under fixed transaction costs. Our results verify the heuristics of (Korn, 1998, Section 5) in the absence of proportional costs, but for general Ito dynamics. Contrary to the related study of Altarovici et al. (2015a) in a different setup, our derivation and verification rely on martingale methods and tools from stochastic calculus like the change-of-variable formula from Peskir (2007) rather than homogenization and viscosity solutions.

Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Erwartungsnutzenmaximierung des Endvermögens unter festen Transaktionskosten. Wir betrachten dabei einen Investor mit konstanter absoluter Risikoaversion, der in einem Markt, bestehend aus einer risikolosen Anleihe und einer riskanten Aktie, handelt. Die Aktie wird dabei als allgeminer Ito-Prozess modelliert. Wir nehmen an, dass der Investor für jede Transaktion einen festen Betrag unabhängig vom Transaktionvolumen zahlen muss. Mit einem nicht-markowschen Prinizip der dynamischen Programmierung bestimmen wir eine Kandidaten-Strategie. Diese Strategie ist dadurch gekennzeichnet, dass sie stets in einem zufälligen und zeitabhängigen Intervall um den friktionslosen Optimierer liegt, beim Erreichen der Intervallgrenzen auf diesen Optimierer springt und alle Aktienpositionen liqudiert, sobald das Vermögen eine vorgegebene (stochastische) Schwelle unterschreitet. Die asymptotische Optimalität dieser Kandidatenstragie zeigen wir unter geeigneten Regularitätsbedingungen an die Dynamiken der Aktie und des friktionslosen Optimierers. Zwei Beispiele zeigen, dass die Regularitätbedingungen in konkreten Modellen erfüllt werden. Außerdem wenden wir unsere Ergebnisse auf die Nutzenindifferenzbepreisung bei festen Transaktionkosten an. Durch eine Abschwächung der Regularitätsannahmen des Optimierungsproblems können wir den Nutzenindifferenzpreis einer Put-Option unter festen Kosten im Black-Scholes-Modell asymptotisch berechnen. Unsere Resultate beweisen die Heuristik von (Korn, 1998, Abschnitt 5) in der Abwesenheit von proportionalen Kosten, aber für allgemeine Ito-Prozesse. Im Gegensatz zu Altarovici et al. (2015a) in einem etwas anderen Ausgangsproblem basieren unsere Ergebnisse auf Martingalmethoden, (Semi-)Martingalungleichungen und Hilfsmitteln aus der Stochastischen Analysis wie zum Beispiel aus Peskir (2007) statt Homogenisierung und Viskositätslösungen.

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Feodoria, Mark-Roman: Optimal investment and utility indifference pricing in the presence of small fixed transaction costs. 2016.

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