The smallest singular value of tensor matrices

Kleinschmidt, Colin Matthias

In this thesis we investigate the smallest singular value of random square matrices whose entries are independent subgaussian random variables. Statements about the behaviour of the singular values of a random matrix are expressed in stochastic terms as singular values of a random matrix are random variables themselves. We estimate the order of the expectation of the smallest singular value of a Gaussian square matrix with disturbed last column, i.e. all entries of the random matrix are independent centered Gaussian random variables, but the variance of the entries of the last column is very small, whereas the other entries are standard normal distributed random variables. This example of a random square matrix with not necessarily identically distributed entries is crucial to understand the behaviour of the smallest singular value. In the more general case of tensor square matrices whose entries are independent subgaussian random variables, we estimate the probability that the smallest singular value is smaller/ greater than some bound. To do so we use a technique called decomposition of the sphere due to M. Rudelson and R. Vershynin, where the Euclidean sphere is decomposed in compressible vectors, i.e. unit vectors that carry most of their mass only in a few coordinates, and incompressible vectors, which are unit vectors that are not compressible. This represents a new approach in this context, as we use the properties of this decomposition to get in a position, where we can use Hölder’s inequality and get rid of the factors. We also generalize a result of M. Rudelson and R. Vershynin to estimate the tail probability of the smallest singular value explicitly and we show that if we lower the assumptions one can generalize the tail estimate to almost square matrices.

In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit der kleinsten singulären Zahl von quadratischen Zufallsmatrizen, deren Einträge unabhängige subgaußsche Zufallsvariable sind. Singuläre Zahlen von Zufallsmatrizen sind selbst wieder Zufallsvariablen, weswegen Aussagen über sie stochastischer Natur sind. Wir bestimmen die Größenordnung des Erwartungswertes der kleinsten singulären Zahl einer quadratischen Gaußmatrix mit gestörter letzter Spalte, d.h. alle Einträge der Zufallsmatrix sind unabhängige, zentrierte Gaußvariablen, allerdings ist die Varianz der Einträge der letzten Spalte sehr klein, wohingegen die anderen Einträge standard normalverteilt sind. Dieses Beispiel einer quadratischen Zufallsmatrix mit nicht notwendigerweise identisch verteilten Einträgen ist entscheidend um das Verhalten der kleinsten singulären Zahl zu verstehen. Im Fall allgemeinerer quadratischen Tensormatrizen mit unabhängigen subgaußschen Einträgen schätzen wir die Wahrscheinlichkeit, dass die kleinste singuläre Zahl kleiner/ größer als eine gewisse Schranke ist, ab. Wir benutzen dazu eine Technik namens decomposition of the sphere, die auf M. Rudelson und R. Vershynin zurückgeht, in welcher die Euklidische Sphäre in komprimierbare Vektoren, d.h. Einheitsvektoren, die den größten Teil ihrer Maße in wenigen Koordinaten tragen und nicht komprimierbare Vektoren zerlegt wird. Dies ist in diesem Zusammenhang ein neuartiges Vorgehen, da wir die Eigenschaften der Zerlegung nutzen, um uns in die Lage zu versetzen, die Hölder Ungleichung einsetzen zu können um die Vorfaktoren zu eliminieren. Wir haben auch das Vorgehen von M. Rudelson und R. Vershynin verallgemeinert, um die Tail Wahrscheinlichkeit der kleinsten singulären Zahl explizit zu berechnen. Wir zeigen außerdem, dass man diese Abschätzungen auf Zufallsmatrizen, die geringfügig von der quadratischen Form abweichen, ausweiten kann, wenn man die Voraussetzungen lockert.

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Kleinschmidt, Colin Matthias: The smallest singular value of tensor matrices.

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