Representable Options

Lenga, Matthias ORCID

We call a given American option representable if there exists a European claim which dominates the American payoff function at any time and such that the values of the two options coincide within the continuation set associated to the American option. This mathematical concept has interesting implications from a probabilistic, analytic,financial and numerical point of view. We aim at analyzing the notion of representability and linking it to embedded American payoffs in the sense of Jourdain and Martini (2001) and cheapest dominating European options originating from the work of Christensen (2014).This process reveals a new duality structure between European and American valuation problems which we deem as very promising for future research. Relying on methods from convex optimization, we make a first step towards verifying representability of certain American claims. Furthermore, we discuss some computational aspects related to semi-infinite linear programming theory. This ultimately leads to an iterative procedure which generates upper and lower bounds for American option prices as well as a spline approximation to the early exercise boundary. The algorithm is benchmarked against high-precision methods from the literature.

Wir bezeichnen ein amerikanisches Derivat als darstellbar, falls eine europäische Option existiert, welche innerhalb des Fortsetzungsgebietes preisgleich zu der amerikanischen Option ist und deren assoziierte Wertfunktion den amerikanischen Payoff zu jeder Zeit dominiert. Aus diesem Konzept lassen sich diverse Schlüsse ableiten, welche sowohl aus einer wahrscheinlichkeitstheoretischen oder finanzmathematischen Perspektive, als auch von einem analytischen oder numerischen Standpunkt aus betrachtet von Interesse sind. Die vorliegende Dissertation zielt darauf ab, mittels Darstellbarkeit eine Brücke zwischen eingebetteten amerikanischen Auszahlungen, im Sinne von Jourdain und Martini (2001), und den von Christensen (2014) diskutierten billigst dominierenden europäischen Optionen, zu schlagen. Hierbei stoßen wir auf einen bisher unbekannten strukturellen Zusammenhang zwischen amerikanischer und europäischer Optionsbewertung. Diesen erachten wir als interessant und reichhaltig hinsichtlich zukünftiger Forschungsvorhaben. Für gewisse amerikanische Auszahlungsprofile wagen wir, unter Zuhilfenahme von Methoden der konvexen Optimierung, einen ersten Schritt in Richtung Lösung des Darstellbarkeitsproblems. Ergänzend diskutieren wir einige algorithmische Aspekte im Rahmen der Theorie semi-infiniter linearer Programme. Abschließend präsentieren wir ein iteratives Verfahren, welches sowohl obere und untere Schranken für amerikanische Optionspreise, als auch eine Spline Approximation der Ausübungsgrenze generiert. Zur Leistungsbemessung ziehen wir Präzisionsmethoden aus der Fachliteratur zu Rate.

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Lenga, Matthias: Representable Options.

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