Escaping sets of entire and quasiregular maps

Comdühr, Patrick ORCID

A transcendental entire function is a holomorphic function on the whole complex plane which is not a polynomial. The Julia set of an entire function $f$ denotes the set of all points in $\C$ where the iterates $f^k$ of $f$ do not form a normal family in the sense of Montel. Many mathematicians investigated the iteration of these functions. Even the simplest example of a transcendental entire function, namely the exponential map $\lambda e^z$ with $\lambda \in \C\setminus\{0\}$, is of rich structure. Devaney and Krych showed in 1984 that for the exponential family $\lambda e^z$, where $0<\lambda <1/e$, the Julia set consists of uncountably many pairwise disjoint simple curves tending to $\infty$, which they called hairs. Recently, the iteration of a natural higher-dimensional analogue of holomorphic maps, the so-called quasiregular maps, became of great interest. A special family of quasiregular functions, the so-called Zorich maps, was introduced by Zorich in 1969 and can be consi-dered as a higher-dimensional counterpart of the exponential family. Bergweiler showed in 2010 that for several Zorich maps hairs also exist. In this thesis we want to focus on the differentiability of hairs for transcendental entire functions and Zorich maps. A first result was given by Viana in 1988, who proved that the hairs of the exponential family are smooth. In the first part of this thesis, we show that his result generalizes to the Zorich maps considered by Bergweiler under some mild additional regularity assumptions. At first glance it seems that the regularity of the function transfers to the regularity of the hairs. In the second part of this thesis we construct in contrast to the first result a transcendental entire function of the so-called Eremenko-Lyubich class, where every hair is nowhere differentiable.

Eine ganz transzendente Funktion ist eine auf der gesamten komplexen Zahlenebene holomorphe Funktion, welche nicht polynomiell ist. Die Juliamenge einer ganzen Funktion $f$ bezeichnet die Menge aller Punkte in $\C$, in welchen die Iterierten $f^k$ von $f$ keine normale Familie im Montelschen Sinne bilden. Viele Mathematiker befassten sich mit der Iteration solcher Funktionen. Selbst der einfachste Fall einer ganz transzendenten Funktion, nämlich der Exponentialfunktion $\lambda e^z$ mit $\lambda \in \C\setminus\{0\}$, ist von reicher Struktur. Devaney und Krych haben 1984 gezeigt, dass für die Exponentialfamilie $\lambda e^z$ mit $0<\lambda< 1/e$ die Juliamenge aus überabzählbar vielen paarweise disjunkten einfachen Kurven nach $\infty$ besteht, welche von ihnen Haare genannt werden. In letzter Zeit gab es ein wachsendes Interesse an der Iteration eines natürlichen höherdimensionalen Analogons holomorpher Funktionen, den sogenannten quasiregulären Funktionen. Eine spezielle Familie quasiregulärer Funktionen, den von Zorich 1969 eingeführten und heute nach ihm benannten Zorichfunktionen, kann als höherdimensionales Analogon der Exponentialfamilie angesehen werden. Bergweiler hat 2010 gezeigt, dass für gewisse Zorichfunktionen Haare existieren. In dieser Arbeit legen wir unser Augenmerk auf die Differenzierbarkeit von Haaren von Zorich- und ganz transzendenten Funktionen. Ein erstes Resultat wurde von Viana im Jahr 1988 gegeben, in welchem er zeigt, dass die Haare der Exponentialfamilie glatt sind. In dem ersten Teil dieser Arbeit zeigen wir, dass sein Resultat für die Zorichfunktionen, welche Bergweiler betrachtet hat, unter schwachen Zusatzvoraussetzungen an die Regularität der Funktion verallgemeinert werden kann. Auf den ersten Blick könnte man vermuten, dass sich die Regularität der Funktion auf die Regularität der Haare überträgt. Im Gegensatz zum ersten Resultat zeigen wir im zweiten Teil dieser Arbeit, dass es eine ganz transzendente Funktion aus der sogenannten Eremenko-Lyubich-Klasse gibt, bei der jedes Haar nirgendwo differenzierbar ist.

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Comdühr, Patrick: Escaping sets of entire and quasiregular maps. 2017.

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