Separability Properties and Finite-Sheeted Coverings of Graphs of Groups and 2-dimensional Orbifolds

Henack, Eric

A group G is called subgroup conjugacy separable (SCS) if for any two f.g. non-conjugate subgroups H and H' of G, there exists a finite quotient E of G such that the images of H and H' remain non-conjugate in E. In this thesis we will prove that, that any finitely generated virtually free group is SCS. This proof uses essentially covering theory of graphs of groups. Note that the introduction and the elaboration of this covering theory will be done as well in this thesis. As a direct consequence of the established formula for counting the index of a finite index subgroup of the fundamental group of a graph of groups, we receive a formula for counting the rank of a free finite index subgroup of a virtually free group in terms of the index of the corresponding subgroup and the finite orders of the vertex groups of the original finite graph of finite groups. For doing this we make use of the well-known fact that any f.g. virtually free group splits as a finite graph of finite groups. Furthermore in the context of covering theory of graphs of groups, we will give a reasonable definition for the group of Decktransformations associated to a cover of a graph of groups and we will establish a connection between this group and the normalizer of the represented subgroup. Later on the covering theory of graphs of groups enables us to prove the subgroup separability for some special kinds of towers over a finitely generated virtually-free group. Note that a group G is called subgroup separable if for any subgroup U of G and any element g of G, which does not lie in U, there exists a finite index subgroup H of G containing U satisfying that g does not lie in H. Afterwards we are going to show that Fuchsian Groups are SCS. This proof uses essentially covering theory of 2-dimensional orbifolds. Last but not least we will use this statement to show that the fundamental group of any totally orientable Seifert fibered space is SCS.

Eine Gruppe G ist untergruppenkonjugationsseparabel (SCS), falls für je zwei endlich erzeugte, nicht konjugierte Untergruppen H und H' von G ein endlicher Quotient E von G existiert, s.d. die Bilder von H und H' in E nicht konjugiert sind. Wir werden in dieser Arbeit einen Beweis dafür liefern, dass endlich erzeugte virtuell freie Gruppen SCS sind. Dieser benutzt in erster Linie Überlagerungstheorie von Graphen von Gruppen, welche in dieser Arbeit auch ausführlich eingeführt und ausgeabreitet wird. Als eine direkte Konsequenz der so gewonnenen Formel für den Index einer von einer Überlagerung von Graphen von Gruppen repräsentierten Untergruppe erhielten wir eine Formel für den Rang einer freien Unterguppe von endlichem Index in einer endlich erzeugten virtuell freien Gruppe. Dafür nutzten wir die Tatsache aus, dass jede endlich erzeugte virtuell freie Gruppe als Fundamentalgruppe eines endlichen Graphen von endlichen Gruppen aufgefasst werden kann. Des Weiteren werden wir im Sinne der erarbeiteten Überlagerungstheorie von Graphen von Gruppen eine sinnvolle Definition der Decktransformationsgruppe einer Überlagerung eines Graphen von Gruppen geben und einen Zusammenhang zwischen dieser Gruppe und dem Normalisator der repräsentierten Untergruppe herstellen. Anschließend weisen wir mit Hilfe der besagten Überlagerungstheorie von Graphen von Gruppen nach, dass Fundamentalgruppen einiger spezieller "Tower" über einer endlich erzeugten virtuell freien Gruppe untegruppenseparabel sind (subgroup separable). Dabei heißt eine Gruppe untegruppenseparabel, falls für jede Untegruppe U von G und jedes Element g der Gruppe G, welches nicht in U liegt, eine Untergruppe H von endlichem Index in G existiert, welche U als Untergruppe hat und das Element g nicht enthält. In den letzten Kapiteln werden wir dann einen Beweis dafür liefern, dass Fuchssche Gruppen SCS sind. Dieser benutzt vorranging Überlagerungstheorie 2-dimensionaler Orbifolds. Ferner werden wir mit Hilfe dieses Beweises nachweisen, dass die Fundamentalgruppe einer total-orientierten Seifert-Mannigfaltigkeit SCS ist.

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Henack, Eric: Separability Properties and Finite-Sheeted Coverings of Graphs of Groups and 2-dimensional Orbifolds. 2018.

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