The Thickness of Left-Invariant Metrics on Compact Connected Lie Groups

Kliemann, Malte ORCID

The subject of the present thesis is to study the thickness of left-invariant riemannian metrics Q on compact connected d-dimensional Lie groups G with respect to the existence of globally or locally thinnest metrics. This is a variation of a problem posed by Berger concerning the identification of particularly good riemannian metrics on compact manifolds. If the group in question is abelian, the question of the existence of a thinnest metric may be answered in the affirmative. By contrast, the existence of arbitrarily thin metrics on all non-abelian groups is proved using the theory of Carnot–Carathéodory metrics. Furthermore, it is shown that the bi-invariant metrics of certain simple Lie groups with finitely many antipodes may be continuously deformed into thinner metrics by shrinking a maximal torus. The affected class of Lie groups consists of the simply-connected Lie groups of the infinite families A n , B n and D n , the simply-connected exceptional Lie groups E 6 and E 7 as well as SO(2n) for n ≥ 2. The existence of locally thinnest metrics on these groups remains unsettled. Finally, it is proved that the bi-invariant metrics of the Lie group PSU(n + 1) for n ≥ 1 are locally optimal metrics, meaning that their thickness does not decrease under any deformations except (possibly) those contained in a certain zero set. It remains unknown whether the bi-invariant metrics are locally thinnest metrics, except in the affirmative case of PSU(2). The problematic zero set is described as a subset of deformations that preserve the volume of every maximal torus up to first order, or, equivalently, deformations whose inertia operator is perpendicular to the second Cartan power of the Lie algebra.

Gegenstand der vorliegenden Dissertationsschrift ist die Untersuchung der Dichte links-invarianter riemannscher Metriken Q auf kompakten zusammenhängenden d-dimensionalen Liegruppen G hinsichtlich der Existenz global oder lokal dünnster Metriken. Es handelt sich dabei um eine Variante des von Berger formulierten Problems über die Bestimmung besonders gutartiger riemannscher Metriken auf kompakten Mannigfaltigkeiten. Liegt eine abelsche Gruppe vor, so ist die Frage nach der Existenz einer dünnsten Metrik positiv zu beantworten. Im Gegensatz dazu wird die Existenz von beliebig dünnen Metriken auf allen nicht-abelschen Liegruppen mit Hilfe der Theorie der Carnot–Carathéodory-Metriken nachgewiesen. Darüber hinaus wird gezeigt, dass die bi-invarianten Metriken bestimmter einfacher Liegruppen mit endlich vielen Antipoden durch das Zusammenziehen eines maximalen Torus in stetiger Weise zu dünneren Metriken verformt werden können. Die betroffene Klasse von Liegruppen besteht aus den einfach-zusammenhängenden Liegruppen der unendlichen Familien A n , C n und D n , den einfach-zusammenhängenden exzeptionellen Liegruppen E 6 und E 7 sowie SO(2n) für n ≥ 2. Die Existenz lokal dünnster Metriken auf diesen Gruppen bleibt weiter ungeklärt. Schließlich wird bewiesen, dass die bi-invarianten Metriken der Liegruppe PSU(n + 1) für n ≥ 1 lokal optimale Metriken sind, was bedeutet, dass ihre Dichte unter keiner Deformation kleiner wird, mit der möglichen Ausnahme solcher Deformationen, die in einer bestimmten Nullmenge enthalten sind. Die Frage, ob die bi-invarianten Metriken lokal dünnste Metriken sind, bleibt unbeantwortet, außer im Falle von PSU(2), in dem sie positiv beantwortet werden kann. Die problematische Nullmenge lässt sich beschreiben als Teilmenge der Deformationen, die in erster Näherung das Volumen keines maximalen Tori ändern, bzw. deren Trägheitsoperatoren senkrecht zur zweiten Cartanpotenz der Liealgebra stehen.

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Kliemann, Malte: The Thickness of Left-Invariant Metrics on Compact Connected Lie Groups. 2018.

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