Stochastische Fixpunktgleichungen über D

Hallmann, Sebastian

In der vorliegenden Arbeit betrachten wir Prozessgleichungen der Form $$(X(t))_{t\in[0,1]} \d \Big(\sum_{j\geq 1}T_j X_j(\tau_j(t)) + C(t)\Big)_{t\in [0,1]}$$ und untersuchen diese in Hinblick auf Lösungen mit Pfaden in $D$, dem Raum der càdlàg-Funktionen über dem Einheitsintervall $[0,1]$. Unsere Motivation solche Gleichungen zu studieren ist die zum Quicksort-Algorithmus assoziierte Prozessgleichung $$(Q(t))_{t\in[0,1]}\d \Big(U Q_1\big(1\wedge \tfrac{t}{U}\big) + (1-U) Q_2\big(0 \vee \tfrac{t-U}{1-U}\big) + C(U,t)\Big)_{t\in [0,1]}.$$ Zu einer gegebenen Folge $(C, (T_1,\tau_1), (T_2,\tau_2),\ldots)$ charakterisieren wir die Menge aller $D$-wertigen Lösungen der allgemeinen Gleichung und zeigen, dass diese als Faltung einer Lösung der inhomogenen Prozessgleichung und einer allgemeinen Lösung der homogenen Prozessgleichung dargestellt werden können.

In this thesis we consider process equations of the form $$(X(t))_{t\in[0,1]} \d \Big(\sum_{j\geq 1}T_j X_j(\tau_j(t)) + C(t)\Big)_{t\in [0,1]}$$ and investigate them in regard to solutions with paths in $D$, the space of càdlàg functions on the unit interval $[0,1]$. Our motivation to study such kind of equations is the process equation associatied with the Quicksort algorithm, i.e. $$(Q(t))_{t\in[0,1]}\d \Big(U Q_1\big(1\wedge \tfrac{t}{U}\big) + (1-U) Q_2\big(0 \vee \tfrac{t-U}{1-U}\big) + C(U,t)\Big)_{t\in [0,1]}.$$ Given a sequence $(C, (T_1,\tau_1), (T_2,\tau_2),\ldots)$ we characterize all $D$-valued solutions of the generalized equation and show that every solution can be represented as the convolution of a solution to the inhomogeneous equation and a general solution of the homogeneous equation.

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Hallmann, Sebastian: Stochastische Fixpunktgleichungen über D. 2019.

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