The Holomorphic Hörmander Functional Calculus

Pannasch, Florian ORCID

The topic of this thesis is functional calculus in connection with abstract multiplier theorems. In 1960, Hörmander showed how the uniform boundedness of certain integral means of a function m in L ∞ (R^d) and its weak derivatives imply that m yields a bounded Lp -Fourier multiplier. Nowadays, this is known as the Hörmander multiplier theorem, sometimes Hörmander--Mikhlin multiplier theorem. A noteworthy detail is that a radial function m(|x|) satisfies Hörmander's condition if and only if m (|x|²) does. Hence, Hörmander's theorem is also a result on the functional calculus of the negative Laplacian -Δ. Hörmander's result has inspired a lot of research, and authors have also proven similar results for other operators such as certain Schrödinger operators, Sublaplacians on Lie groups, and later certain differential operators on spaces of homogeneous type. For us, the work of Kriegler and Weis is of particular interest. Starting with the PhD thesis of Kriegler in 2009, they showed how abstract multiplier theorems can be proven in a more general context. Namely, considering a certain class of 0-sectorial and 0-strip type operators on a general Banach space, one can construct an abstract Hörmander functional calculus based on the classical holomorphic calculus. Then, by using probalistic techniques from Banach space geometry involving so-called R-boundedness one can derive multiplier results in this generalized setting. In 2001, García-Cuerva, Mauceri, Meda, Sjögren, and Torrea proved an abstract multiplier theorem for generators of symmetric contraction semigroups, where a bounded Hörmander calculus is inferred from growth conditions on the imaginary powers of the generator. As the considered operators need not be 0-sectorial, this result is not covered by the methods of Kriegler and Weis. However, the result is based on Meda's earlier work, where he derived a bounded Hörmander if the given imaginary powers only grow polynomially fast. In this case, the operator is 0-sectorial, and Kriegler and Weis were able to recover the result while improving the order of the calculus. In this thesis, we introduce a generalized class of Hörmander functions defined on strips and sectors. Based on this and the classical holomorphic calculus, we construct a holomorphic Hörmander calculus for a class of operators which may also have strip type or angle of sectoriality greater than zero. The main result is a generalization of the multiplier theorem of García-Cuerva et al. to Banach spaces of finite cotype and Banach spaces with Pisier's property (α), where we retain and even improve the order given by Kriegler and Weis for the 0-sectorial case.

Das Thema dieser Dissertation ist Funktionalkalkül in Verbindung mit abstrakten Multiplikatorsätzen. In 1960 hat Hörmander gezeigt, wie die gleichmäßige Beschränktheit bestimmter Integralmittel einer Funktion m in L ∞ (R^d) und ihrer schwachen Ableitungen bereits liefert, dass m ein beschränkter Lp -Fourier-Multiplikator ist. Heutzutage ist dieser Satz bekannt als der Multiplikatorsatz von Hörmander, manchmal Multiplikatorsatz von Hörmander--Mikhlin. Ein besonderes Detail ist, dass eine radiale Funktion m (|x|) die gegebene Bedingung von Hörmander genau dann erfüllt, wenn es die Funktion m (|x|²) tut. Damit ist der Satz von Hörmander auch ein Ergebnis über den Funktionalkalkül des negativen Laplaceoperators -Δ. Hörmanders Resultat hat viel Forschung inspiriert, und viele Autoren haben ähnliche Sätze auch für andere Operatoren beweisen können, wie zum Beispiel gewisse Schrö- dingeroperatoren, Sublaplaceoperatoren auf bestimmten Lie-Gruppen, und später gewisse Differentialoperatoren auf Räumen vom homogenen Typ. Von besonderem Interesse ist für uns die Arbeit von Kriegler und Weis. Beginnend mit Krieglers Dissertation in 2009, zeigten die beiden, wie abstrakte Multiplikatorsätze in einem allgemeineren Kontext bewiesen werden können. Nämlich kann man für eine bestimmte Klasse von 0-sektoriellen und 0-Streifentyp Operatoren einen abstrakten Hörmanderkalkül basierend auf dem klassischen holomorphen Kalkül konstruieren. Multiplikatorsätze können dann mithilfe von probablistischen Mitteln abgeleitet werden. Hierbei spielt die sogenannte R-Beschränkheit eine wichtige Rolle. In 2001 haben García-Cuerva, Mauceri, Meda, Sjögren und Torrea einen abstrakten Multiplikatorsatz für Erzeuger symmetrischer Kontraktionshalbgruppen bewiesen, der aus gewissen Wachstumsbedingungen an die imaginären Potenzen des Erzeugers einen beschränkten Hörmanderkalkül schließt. Da die auftretenden Operatoren nicht zwingend 0-sektoriell sein müssen, wird dieses Ergebnis nicht von den Mitteln von Kriegler und Weis abgedeckt. Allerdings basiert der Satz auf einem früheren Resultat von Meda, in dem er einen beschränkten Hörmanderkalkül folgert, wenn die gegebenen imaginären Potenzen höchstens polynomiell wachsen. In diesem Fall ist der Operator 0-sektoriell, und Kriegler und Weis konnten Medas Ergebnis reproduzieren, wobei die Ordnung des Kalküls sogar verbessert wurde. In dieser Arbeit führen wir eine verallgemeinerte Klasse von Hörmanderfunktioen auf Streifen und Sektoren ein. Basierend hierauf und auf den klassischen holomorphen Funktionalkalkül wird einen abstrakter Hörmanderkalkül für eine gewisse Klasse von Streifentyp- und sektoriellen Operatoren konstruiert, deren Streifentyp oder Sektorialitätswinkel auch größer als null sein kann. Das Hauptresultat ist eine Verallgemeinerung des Multiplikatorsatzes von García-Cuerva et al. auf Banachräume mit endlichem Kotyp und Banachräume mit Pisiers Eigenschaft (α), wobei wir die verbesserte Ordnung von Kriegler und Weis aus dem 0-sektoriellen Fall erhalten und sogar verbessern.

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Pannasch, Florian: The Holomorphic Hörmander Functional Calculus. 2019.

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