# Lebesgue measure of Julia, Fatou and non-escaping sets

Iteration theory of meromorphic functions, which originates in the study of rational iteration by Fatou and Julia around 1920, is today an active research topic. The key concept in studying the behaviour of a meromorphic function f under iteration is the partition of the complex plane in two parts: The Fatou set F(f) where all iterates f^n are defined and form a normal family in the sense of Montel; and its complement, the Julia set J(f). In this thesis we are concerned with Lebesgue measure of Fatou and Julia sets, considering two contrasting phenomena. First we study meromorphic functions whose Julia set has measure zero, then we show that the Fatou set of certain entire functions has finite measure. The postsingular set P(f) of a meromorphic function f is defined as the closure of the union of the forward orbits of the singular values of f. McMullen showed that the Julia set of an entire function f has Lebesgue measure zero if P(f) is a compact subset of F(f) and the density of J(f) in any large disk is bounded by a constant strictly less that one. Stallard extended the result to functions whose possibly unbounded postsingular set has positive distance to the Julia set. Jankowski and Zheng showed that one may allow for certain exceptions to this condition within a bounded subset of the complex plane. We extend the result to functions which may have unbounded sequences of postsingular values whose distance to the Julia set tends to zero, provided that the density of the Julia set close to these values is not too large. As an application, we consider the function f from Newton's method for finding the zeros of the function g(z)=\int_0^z p(t)e^{q(t)} dt+c with polynomials p and q. We show that under certain assumptions on the zeros of g'' which are not zeros of g or g' – that is, the critical points of f which are not fixed points of f – the Julia set of f has Lebesgue measure zero. Together with a result of Bergweiler this implies that f^n(z) converges to zeros of g almost everywhere if this is the case for each zero z of g''. Contrasting with the above results, McMullen showed that the Julia set of sin(az+b) has positive measure, and Schubert proved that the measure of the Fatou set of sin(z) is finite in any vertical strip of width 2\pi. A result of Sixsmith says that the Julia set of the function f(z)=\sum_{k=1}^N a_k exp(b_k z) has positive measure if the set of arguments of the b_k intersects, modulo 2\pi, every open interval of length \pi. We show that under similar assumptions on the numbers b_k, the Fatou set of the function f(z)=\sum_{k=1}^N Q_k(z) exp(b_k z^d+P_k(z)), where P_k and Q_k are polynomials, d is at least 3, and deg(P_k)<d, has finite measure. In fact, we even show that the Lebesgue measure of the complement of the intersection of J(f) and A(f) is finite, where A(f) denotes the fast escaping set of f, consisting of those points where the iterates tend to infinity as fast as possible.

Die Iterationstheorie meromorpher Funktionen, die ihren Ursprung in den Arbeiten von Fatou und Julia zur Iteration rationaler Funktionen um 1920 hat, ist heutzutage ein aktives Forschungsgebiet. Das wichtigste Konzept bei der Untersuchung des Iterationsverhaltens einer meromorphen Funktion f ist die Unterteilung der komplexen Ebene in zwei Mengen: die Fatoumenge F(f), in der alle Iterierten f^n definiert sind und eine normale Familie im Sinne von Montel bilden, und ihr Komplement, die Juliamenge J(f). In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit dem Lebesguemaß von Fatou- und Juliamengen und untersuchen dabei zwei gegensätzliche Phänomene. Zunächst betrachten wir meromorphe Funktionen, deren Juliamenge das Maß null hat, danach zeigen wir, dass die Fatoumenge gewisser ganzer Funktionen endliches Maß hat. Die postsinguläre Menge P(f) einer meromorphen Funktion f ist der Abschluss der Vereinigung der Vorwärtsorbits der Singularitäten der Umkehrfunktion von f. Ein Resultat von McMullen besagt, dass die Juliamenge einer ganzen Funktion f das Lebesguemaß null hat, wenn P(f) eine kompakte Teilmenge von F(f) ist und die Dichte von J(f) in großen Kreisscheiben durch eine Konstante kleiner als eins beschränkt ist. Dieses Ergebnis wurde von Stallard auf Funktionen erweitert, deren möglicherweise unbeschränkte postsinguläre Menge positiven Abstand zur Juliamenge hat. Jankowski und Zheng zeigten, dass innerhalb einer beschränkten Teilmenge der komplexen Ebene gewisse Ausnahmen zu dieser Bedingung zugelassen werden können. Wir erweitern das Resultat auf Funktionen, die unbeschränkte Folgen von postsingulären Werten besitzen dürfen, deren Abstand zur Juliamenge gegen null geht, sofern die Dichte der Juliamenge in der Nähe dieser Werte nicht zu groß ist. Als Anwendung betrachten wir die Funktion f aus dem Newtonverfahren zur Bestimmung der Nullstellen der Funktion g(z)=\int_0^z p(t)e^{q(t)}dt+c mit Polynomen p und q. Wir zeigen, dass unter gewissen Voraussetzungen an die Nullstellen von g'', die keine Nullstellen von g oder g' sind – das heißt, die kritischen Punkte von f, die keine Fixpunkte von f sind – die Juliamenge von f das Lebesguemaß null hat. Zusammen mit einem Resultat von Bergweiler folgt daraus, dass die Iterierten f^n(z) fast überall gegen Nullstellen von g konvergieren, wenn dies für jede Nullstelle z von g'' der Fall ist. Im Kontrast zu obigen Resultaten zeigte McMullen, dass die Juliamenge der Funktion sin(az+b) positives Maß hat, und Schubert bewies, dass das Maß der Fatoumenge von sin(z) eigeschränkt auf vertikale Streifen der Breite 2\pi endlich ist. Ein Resultat von Sixsmith besagt, dass die Juliamenge der Funktion f(z)=\sum_{k=1}^N a_k exp(b_k z) positives Maß hat, falls die Menge der Argumente der b_k modulo 2\pi jedes offene Intervall der Länge \pi schneidet. Wir zeigen, dass unter ähnlichen Voraussetzungen an die Zahlen b_k die Fatoumenge der Funktion f(z)=\sum_{k=1}^N Q_k(z) exp(b_k z^d+P_k(z)) mit Polynomen P_k und Q_k, einer natürlichen Zahl d größer oder gleich 3 und deg(P_k)<d endliches Maß hat. Tatsächlich zeigen wir sogar, dass das Komplement des Schnitts von J(f) und A(f) endliches Maß hat, wobei A(f) die schnell entkommende Menge von f bezeichnet, in der die Iterierten so schnell wie möglich gegen unendlich streben.

### Rights

Use and reproduction: