Hedging in affine stochastic volatility models

Vierthauer, Richard

Typically an investor incurs risk by issuing a contingent claim. She can try to reduce this risk by trading in the underlying asset according to a strategy which is in some sense appropriate. In an incomplete financial market there usually are several meaningful choices for the determination of such a hedging strategy. We discuss two of them based on optimization criteria: asymptotic exponential utility-based hedging and variance-optimal hedging. We investigate these approaches under the assumption that the underlying can be described by subclasses of affine processes in each case. These classes contain some popular affine stochastic volatility models, e.g. the Barndorff-Nielsen & Shephard model and the Heston model. Furthermore they allow for models which exhibit jumps in the return process as well as in the volatility component. For both hedging approaches we obtain semi-explicit expressions for the objects of interest (i.e. first order approximations of the optimal hedging strategy and the associated utility indifference price for asymptotic utility-based hedging as well as the optimal hedging strategy, optimal initial endowment and the corresponding variance of the hedging error for quadratic hedging). We mainly use general structural results, a Laplace transform technique and semimartingale calculus in order to derive these findings. For the exponential utility-based hedging approach we additionally require a characterization of the the density process of the minimal entropy martingale measure and the associated solution to the exponential utility maximization problem without additional claims. We provide these in the more general framework of multivariate affine processes. Finally, some numerical examples illustrate the results of the two hedging approaches by computing the relevant quantities in concrete stochastic volatility models.

Ein Investor, der ein Derivat emittiert, geht durch dieses Geschäft üblicherweise ein Risiko ein. Er kann versuchen dieses Risiko zu verringern, indem er in dem zugrundeliegenden Wertpapier gemäß einer - in einem gewissen Sinne - angemessenen Strategie handelt. In einem unvollständigen Finanzmarkt gibt es normalerweise mehrere sinnvolle Möglichkeiten zur Bestimmung einer solchen Absicherungsstrategie. Wir erörtern zwei auf Optimierungskriterien basierende Ansätze: asymptotisches nutzenbasiertes Hedgen unter Verwendung der exponentiellen Nutzenfunktion und varianz-optimales Hedgen. Dies geschieht jeweils unter der Annahme, dass das zugrundeliegende Wertpapier durch eine Teilklasse der affinen Prozesse modelliert werden kann. Diese Klassen enthalten einige gängige affine stochastische Volatilitätsmodelle wie z.B. das Barndorff-Nielsen & Shephard-Modell und das Heston-Modell. Darüber hinaus umfassen sie Modelle, die sowohl Sprünge in dem zugrundeliegenden Wertpapier als auch in dessen Volatilität erlauben. Wir erhalten für beide Absicherungsmethoden semi-explizite Ausdrücke für die relevanten Größen (d.h. lineare Näherungen für die optimale Absicherungsstrategie und den zugehörigen Nutzenindifferenzpreis für das asymptotische nutzenbasierte Hedgen, die optimale Strategie, das optimale Anfangskapital und die damit verbundene Varianz des Hedgefehlers für das varianz-optimale Hedgen). Wir verwenden hauptsächlich allgemeine Strukturaussagen, die Laplace-Transformation und den Semimartingalkalkül zur Bestimmung dieser Ergebnisse. Für das asymptotische nutzenbasierte Hedgen benötigen wir zusätzlich eine Charakterisierung der Lösung des Erwartungsnutzenproblems ohne zusätzliches Derivat und des zugehörigen Dichteprozesses des Martingalmaßes mit minimaler Entropie. Wir bestimmen diese Charakterisierung in dem etwas allgemeineren Rahmen von mehrdimensionalen affinen Prozessen. Wir illustrieren die Ergebnisse der beiden Absicherungsansätze durch einige numerische Beispiele, in denen die entsprechenden Lösungen in einigen konkreten stochastischen Volatilitätsmodellen berechnet werden.

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Vierthauer, Richard: Hedging in affine stochastic volatility models.

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