# On Using Shadow Prices for the Asymptotic Analysis of Portfolio Optimization under Proportional Transaction Costs

This thesis contains three scientific articles on the problem of utility maximization in a financial market with proportional transaction costs. One of the most revealing approaches to this problem consists in passing to the asymptotic analysis of the impact of small transaction costs, where the maximum expected utility is approximated locally by a Taylor series expansion. In recent works by Kallsen and Muhle-Karbe (2012, 2013) dealing with this issue, heuristic arguments are used for deriving a candidate trading strategy which is expected to be optimal to the leading order, along with asymptotic formulas for the associated trading volume and the effect of the small transaction costs. The subject of this thesis is a rigorous proof verifying the results of Kallsen and Muhle-Karbe with precise formulation of sufficient regularity assumptions on the market model. The study is carried out in three stages considering the exponential utility function, general utility functions and trading volume of the leading-order optimal strategy, respectively. The key idea throughout is the utilization of the so-called shadow price process which facilitates a transformation of the original problem with transaction costs into an equivalent frictionless one. The proof of the approximate optimality of the proposed strategy is based on the martingale method (duality theory), while the verification of the asymptotic formula for the respective trading volume and the impact of transaction costs relies on the ergodic property of reflected Brownian motion. The entire method works within a general one-dimensional Itô framework (i.e., the stock price is modelled by a general Itô process), which provides an access to stochastic volatility models.

Diese Dissertation enthält drei wissenschaftliche Arbeiten zum Problem der Nutzenmaximierung auf einem Finanzmarkt mit proportionalen Transaktionskosten. Eine der aufschlussreichsten Herangehensweisen hierzu ist der Übergang zu der asymptotischen Analysis der Auswirkung kleiner bzw. verschwindender Transaktionskosten, wobei der maximal erwartete Nutzen durch Taylor-Entwicklung lokal approximiert wird. Dieses Vorgehen findet Anwendung in den aktuellen Arbeiten von Kallsen und Muhle-Karbe (2012, 2013), in welchen mittels heuristischer Argumente ein Kandidat für die nährungsweise optimale Handelsstrategie, das asymptotische Handelsvolumen dazu sowie der Effekt der kleinen Transaktionskosten ermittelt werden. Ziel dieser Dissertation ist ein rigoroser Beweis zur Verifikation der Resultate von Kallsen und Muhle-Karbe mit präziser Formulierung hinreichender Regularitätsannahmen an das Marktmodell. Die Betrachtung erfolgt in drei Stufen jeweils mit einem der folgenden Schwerpunkte: exponentielle Nutzenfunktion, allgemeine Nutzenfunktionen sowie Handelsvolumen der approximativ optimalen Strategie. Durchgehend besteht die Kernidee in der Verwendung des so genannten Schattenpreis-Prozesses, welcher eine Transformation des ursprünglichen Optimierungsproblems mit Transaktionskosten in ein äquivalentes Problem ohne Transaktionskosten ermöglicht. Der Beweis der approximativen Optimalität der vorgeschlagenen Handelsstrategie basiert auf der Martingalmethode bzw. Dualitätstheorie, während sich die Verifikation der asymptotischen Formeln für das dazugehörige Handelsvolumen und den Kosteneffekt auf die Ergodeneigenschaft der reflektierten Brownschen Bewegung stützt. Die gesamte Methode funktioniert in einem allgemeinen eindimensionalen Itô-Rahmen (d.h. der Verlauf des Aktienkurses wird durch einen allgemeinen Itô-Prozess modelliert), was einen Zugang zu stochastischen Volatilitätsmodellen bietet.

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