The inverse problem of Magnetocardiography - Activation time imaging with the Extended Kalman Filter and the Unscented Kalman Filter

Ahrens, Henning

In order to reconstruct the electrical activity in the heart this work employs the method activation time imaging. In the method first the primary current dipoles distributed on a cubic ventricular grid with a lattice constant of 1.5 mm are calculated from the measured magnetocardiographic signal using standard algorithms for the inverse problem, namely the Weighted Minimum Norm (WMN) or the MUltiple SIgnal Classification (MUSIC). In the next step the activation time of the cubic ventricular cell can be estimated from the maximum of the primary current in the cell. These WMN- and MUSIC-generated activation times act as initial states for the Kalman Filters investigated in this work. Because the number of magnetocardiographic sensors is several orders smaller than the number of primary current dipoles in the heart, the inverse problem for the primary current dipoles doesn't have a unique solution and is highly ill-posed. Consequently, there is a large error between the true simulated activation times and the WMN- and MUSIC-generated activation times. In order to reduce the error between the activation times, in a state-space model a process function is introduced that smoothes the activation time map and states an additional constraint for the activation times. Because the location of the accessory pathway can be found from the minimum of the activation time map, also the localization error for accessory pathways is reduced by the application of the process function. Because both the process function and the MCG signal function are nonlinear and even nonsmooth functions of the activation times, the Extended Kalman Filter (EKF) and the Unscented Kalman Filter (UKF), that are optimized for nonlinear state-space models, are applied to the WMN- and MUSIC-generated initial states.

In dieser Arbeit wird zur Rekonstruktion der elektrischen Aktivität des Herzens die Methode activation time imaging untersucht. Hierbei werden zunächst die primären Stromdipole in einem kubischen ventrikulären Gitter aus den Signalen der Sensoren berechnet. Hierfür werden Standardverfahren zur Lösung des inversen Problems verwendet, wie die MUltiple SIgnal Classification (MUSIC) oder das Weighted Minimum Norm (WMN) Verfahren. Aus dem Maximum des Primärstroms einer ventrikulären Zelle kann dann die Aktivierungszeit der Zelle abgeschätzt werden. Die so berechneten Aktivierungszeiten dienen als Anfangszustände für die in der Arbeit verwendeten Kalman Filter. Aufgrund der im Vergleich zur Anzahl der Quellen des Magnetfelds sehr kleinen Anzahl an Sensoren ist das inverse Problem für die primären Stromdipole stark unterbestimmt und nicht eindeutig lösbar. Die mit den Methoden MUSIC und WMN berechneten Aktivierungszeiten weichen daher stark von den tatsächlichen Aktivierungszeiten ab. Es wird daher in einem Zustandsmodell eine Prozessfunktion eingeführt, die eine zusätzliche Nebenbedingung für das inverse Problem darstellt, die Aktivierungszeiten glättet und damit zu einer Verringerung des Fehlers für die Aktivierungszeiten führt. Der mittlere Lokalisierungsfehler für akzessorische Leitungsbahnen wird dabei ebenso verringert, da er aus dem Ort des Minimums der Aktivierungszeiten berechnet werden kann. Da die verwendete Prozessfunktion sowie die Signalfunktion nichtlineare Funktionen der Aktivierungszeiten sind, werden zur Lösung des Zustandsmodells die für nichtlineare Zustandsmodelle optimierten Algorithmen EKF (Extended Kalman Filter) und UKF (Unscented Kalman Filter) verwendet.

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Ahrens, Henning: The inverse problem of Magnetocardiography - Activation time imaging with the Extended Kalman Filter and the Unscented Kalman Filter.

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