Affine Structures of Convex Bodies and Duality Aspects

Mordhorst, Olaf

In this thesis we treat different topics from affine convex geometry and in particular, we investigate duality aspects. The first part is dedicated to the study of ane invariant points. We prove a conjecture of B. Grünbaum that links the set of affine invariant points of a convex body to its symmetries. Based on this result we treat several questions from papers of B. Grünbaum, M. Meyer, C. Schütt and E. Werner about affine invariant points and symmetry measures. We show that the set of affine invariant points which do not possess a dual affine invariant point is of second category. Furthermore, we give an example that demonstrates that the John and Löwner point of a convex body can be far apart. In the second part of this thesis we examine the question to what extent the floating and illumination bodies are dual notions. We investigate this problem by estimating the distance of the polar of the floating body and the illumination body of the polar of a convex body. We provide estimates for the distance for lp-balls and for centrally symmetric ovaloids in the case that the parameter of the floating body tends to 0. We prove that equality of the floating body and the illumination body of the polar characterizes ellipsoids among centrally symmetric convex bodies.

In der vorliegenden Arbeit behandeln wir verschiedene Themen aus der affinen Konvexgeometrie und untersuchen insbesondere Dualitätsaspekte. Im ersten Teil der Arbeit widmen wir uns dem Studium affin invarianter Punkte. Wir beweisen eine Vermutung von B. Grünbaum, die eine Verbindung zwischen der Menge der affin invarianten Punkte eines Konvexkörpers und den Symmetrien herstellt. Ausgehend von diesem Resultat behandeln wir verschiedene Fragestellungen, die in Arbeiten von B. Grünbaum, M. Meyer, C. Schütt und E.Werner zu affin invarianten Punkten und Symmetriemaßen aufgeworfen werden. Wir beweisen, dass die Menge der affin invarianten Punkte, die keinen dualen affin invarianten Punkt besitzen, von zweiter Kategorie sind. Ferner geben wir ein Beispiel an, das zeigt, dass John- und Löwner-Punkt eines Konvexkörpers weit auseinander liegen können. Im zweiten Teil der Arbeit behandeln wir die Frage, inwieweit Schwimm- und Illuminationskörper zueinander duale Konzepte sind. Wir untersuchen dieses Problem, indem wir den Abstand von der Polaren des Schwimmkörpers zum Illuminationskorper der Polaren eines Konvexkörpers abschätzen. Wir geben für lp-Kugeln und für zentralsymmetrische Ovaloide Abschätzungen des Abstandes im Fall an, dass der Paramter des Schwimmkörpers gegen 0 geht. Es wird gezeigt, dass Gleichheit von der Polaren des Schwimmkörpers und vom Illuminationskörpers der Polaren im Fall zentralsymmetrischer Ovaloide Ellipsoide charakterisiert.

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Mordhorst, Olaf: Affine Structures of Convex Bodies and Duality Aspects. 2017.

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