Harmonische Mannigfaltigkeiten und exponentielle Polynome

In einer vollständigen, harmonischen Mannigfaltigkeit ohne konjugierte Punkte untersuchen wir in dieser Arbeit eine gewisse Funktion F, welche mittels des instabilen Jacobi-Tensors längs einer Geodätischen c definiert wird. Die Abbildung F besitzt die folgenden Eigenschaften: (i) Für alle t aus R ist F(t) symmetrisch und positiv definit. (ii) Für t gegen unendlich konvergiert F(t) monoton gegen 0. (iii) Für t aus R gilt det(F(t)) = det(F(0)) * e^{-2ht} für ein h >0. (iv) Es gilt f(u) = det(F(s+u) - F(s))/det(F(s)) für eine differenzierbare Funktion f und alle s, u aus R.
Aus diesen Eigenschaften folgt, dass f ein exponentielles Polynom ist. Wir machen die natürlich erscheinende (und für n=2 auch bewiesene) Annahme, dass auch F ein (Matrix-wertiges) exponentielles Polynom ist, was unter anderem in symmetrischen Räumen negativer Krümmung der Fall ist. Dort lässt sich F sogar stets in der speziellen Gestalt F(t) = e^{tW} * F(0) * e^{tW^T} für eine reelle Matrix W schreiben.
Wir befassen uns mit der Fragestellung, ob sich die Abbildung F beziehungsweise Abbildungen, die die Eigenschaften (i) - (iv) tragen, stets in obiger Form schreiben lassen. Insbesondere wären dann die Eigenwerte des Jacobi-Operators konstant längs c. Im Allgemeinen verneinen wir diese Frage mittels der von E. Damek und F. Ricci konstruierten nicht symmetrischen, harmonischen Mannigfaltigkeiten. Im Gegensatz dazu bejahen wir die Frage im Spezialfall n=2. In höheren Dimensionen geben wir verschiedene Bedingungen an, unter denen sich Abbildungen, die die Eigenschaften (i) - (iv) mit F teilen, in obiger Form schreiben lassen – insbesondere für den Fall, dass die zugrundeliegende Geodätische geschlossen ist. Außerdem beschreiben wir vereinfachende Modifikationen von F, welche die Eigenschaften (i) - (iv) erhalten und damit als Ansatz für ein Klassifikationsprogramm dienen.

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