On the Detection and Combination of Relatively Quasiconvex Subgroups of Relatively Hyperbolic Groups

Diese Arbeit untersucht relativ quasikonvexe Untergruppen von relativ hyperbolischen Gruppen. Ihre beiden Forschungsgebiete sind die Erkennung und Kombination von relativ quasikonvexen Untergruppen.

Der erste Hauptsatz dieser Arbeit gibt unter gewissen Voraussetzungen an die periphäre Struktur einer relativ hyperbolischen Gruppe (G, P) einen Semialgorithmus, der relativ quasikonvexe Untergruppen H von G erkennt. Das bedeutet, es existiert ein Algorithmus, der, gegeben ein Erzeugendensystem von H, entweder anhält und eine Quasikonvexitätskonstante sowie eine induzierte periphäre Struktur von (G, P) auf H ausgibt, falls H relativ quasikonvex ist, oder nicht hält, falls H nicht relativ quasikonvex ist.

Der zweite Hauptsatz dieser Arbeit ist ein Kombinationssatz für relativ quasikonvexe Untergruppen einer torsionsfreien relativ hyperbolischen Gruppe (G, P). Um diesen Satz formulieren zu können, wird der Begriff eines (G, P)-Trägergraphen von Gruppen definiert. Ein solcher Trägergraph von Gruppen ist im Wesentlichen ein beschrifteter Graph von Gruppen mit einer kanonischen Einbettung in G. Der Kombinationssatz gibt Bedingungen an einen Trägergraphen von Gruppen, die garantieren, dass seine kanonische Einbettung quasiisometrisch ist.

Außerdem wird eine mögliche Anwendung des Kombinationssatzes im Beweis von Endlichkeitsresultaten für Isomorphieklassen von quasikonvexen Untergruppen skizziert. Zusätzlich wird erklärt, warum der Kombinationssatz in der derzeitigen Form nur für torsionsfreie Gruppen anwendbar ist, und eine mögliche Verallgemeinerung auf Gruppen mit Torsion umrissen.

This thesis examines relatively quasiconvex subgroups of relatively hyperbolic groups. Its two areas of research are the detection and combination of relatively quasiconvex subgroups.

The first main theorem of this thesis provides, under certain conditions on the peripheral structure of a relatively hyperbolic group (G, P), the existence of a semi-algorithm which detects relatively quasiconvex subgroups H of G. More precisely, there is an algorithm which, given a generating set of H, either halts and outputs a quasiconvexity constant and an induced peripheral structure of (G, P) on H, if H is relatively quasiconvex, or does not halt, if H is not relatively quasiconvex.

The second main theorem of this thesis is a combination theorem for relatively quasiconvex subgroups of a torsion-free relatively hyperbolic group (G, P). To this end, the concept of a (G, P)-carrier graph of groups is introduced. Such a carrier graph of groups is essentially a labeled graph of groups with a canonical embedding into G. The combination theorem
then gives conditions on a carrier graph of groups which guarantee that its canonical embedding is quasiisometric.

Additionally, a possible application of the combination theorem in proving finiteness results for the isomorphy classes of quasiconvex subgroups is outlined. Moreover, it is explained why the combination theorem as stated only applies to torsion-free groups and how it might be possible to prove a similar result for groups with torsion.

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