Schnelle Verfahren für BEM-Probleme mit Hilfe von H-Matrix-Techniken : Effizientes Aufstellen von Randintegraloperatoren kombiniert mit shared-memory-Parallelisierung der H-Arithmetik für schnelle Vorkonditionierer
Die Randelementmethode (BEM) wird zur Berechnung von linearen, homogenen, partiellen Differentialgleichungen verwendet, um Lösungen auch im Außenraum der Geometrie effizient auswerten zu können.
Hierbei sind die auftretenden Systemmatrizen üblicherweise vollbesetzt.
Für große Probleme wird dieses Verfahren daher aufgrund des hohen Rechen- und Speicheraufwands schnell unattraktiv.
Zur Lösung beider Probleme führen wir die H-Matrizen ein, die an geeigneten Stellen Berechnungen durch Approximationen ersetzen und dadurch die Effizienz massiv steigern.
Der erste Teil dieser Arbeit beschäftigt sich damit, wie die Randintegraloperatoren mithilfe moderner CPUs und deren Technologien, wie Multithreading und Vektorisierung, effizient im Kontext der H-Matrizen aufgestellt werden können.
Als Lösungsverfahren nutzen wir das GMRES bzw. des CG-Verfahrens für positiv definite, symmetrische Matrizen.
Es zeigt sich, dass bei wachsender Problemgröße diese Verfahren immer mehr Iterationsschritte benötigen und somit in ihrer Anwendung immer teurer werden.
Vorkonditionierer helfen dabei, diesen Nachteil deutlich zu reduzieren.
Die H-Matrizen bieten ein sehr mächtiges Werkzeug, um Vorkonditionierer mithilfe von approximativen Dreieckszerlegungen bzw. approximativen Inversen zu konstruieren.
Leider sind diese Verfahren schwierig zu parallelisieren.
Daher wird ein großer Teil dieser Arbeit der Frage gewidmet, wie eine sinnvolle Verteilung der Arbeitslast auf mehrere Rechenkerne erreicht werden kann.
Wir stellen ein Konzept vor, dass auf Tasks basiert und während einer rein symbolischen Ausführung der oben genannten Operationen Verknüpfungen zwischen diesen Teilaufgaben herstellt, sodass sie später gleichmäßig auf die verfügbare Hardware verteilt werden können.
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