Die aufsteigende Zentralreihe in Einheitengruppen modularer Gruppenalgebren für Klassen metabelscher p-Gruppen

In dieser Arbeit beschäftigen wir uns im Fall eines Körpers K der Primzahlcharakteristik p und ausgewählter metabelscher p-Gruppen G mit der Bestimmung der aufsteigenden Zentralreihe der Einheitengruppe E(KG) von der modularen Gruppenalgebra KG. Bezeichnen wir mit J(KG) das Radikal der Gruppenalgebra KG, so ist E(KG) isomorph zu $(J(KG), \ast) \times (K \setminus {0_{K}}, \cdot)$ (wobei $a \ast b := a+b+ab$ für alle $a,b \in KG$). Im Hinblick auf die aufsteigende Zentralreihe von $(J(KG), \ast)$ untersuchen wir p-Gruppen G mit zyklischer Kommutatoruntergruppe $\gamma_{2}(G)$, wobei wir im Fall p=2 zusätzlich $\gamma_{3}(G) \leq \gamma_{2}(G)^{4}$ voraussetzen. Darüber hinaus betrachten wir p-Gruppen, für die $\gamma_{2}(G)\cong C_{p} \times C_{p}$ gilt unter der Einschränkung, dass wir p>2 und $C_{G}(\gamma_{2}(G))$ als abelsch im Fall cl(G)=3 annehmen. Nach einem Satz von X. Du sind die in der aufsteigenden Zentralreihe von $(J(KG), \ast)$ auftretenden Faktorgruppen K-Vektorräume. Für jeden dieser K-Vektorräume bestimmen wir dessen K-Dimension. Unser konstruktives Vorgehen liefert darüber hinaus Basen dieser Faktorräume. Es stellt sich heraus, dass sich bei den genannten Gruppentypen solche Basen durch eine Analyse der Restklassen bezüglich $\gamma_{2}(G)$ ermitteln lassen. Genauer zeigen wir, dass es für die Angabe von Basen (beziehungsweise der Dimensionen) ausreicht, in jeder Restklasse bezüglich $\gamma_{2}(G)$ ein Element einer Konjugiertenklasse minimaler Länge (beziehungsweise die Länge einer minimalen Konjugiertenklasse) sowie zusätzlich $\gamma_{3}(G)$ (beziehungsweise $|\gamma_{3}(G)|$) zu bestimmen. Damit geben wir in dieser Arbeit im Fall p>2 unter anderem ein Verfahren zur Bestimmung von Basen (und der Dimensionen) für die in der aufsteigenden Zentralreihe von J(KG) auftretenden Faktorräume für jede p-Gruppe G mit $|G|\leq p^{4}$ an.

In this thesis we investigate the upper central series of unit groups E(KG) of modular group algebras KG in the case of a field K of prime characteristic p and selected metabelian p-groups G. Denoting J(KG) the radical of KG, E(KG) is isomorphic to $(J(KG), \ast) \times (K \setminus {0_{K}}, \cdot)$ (where $a \ast b := a+b+ab$ for all $a,b \in KG$). We investigate the upper central series of $(J(KG), \ast)$ for p-groups G with a cyclic commutator subgroup $\gamma_{2}(G)$ under the condition that either p is odd or p=2 and $\gamma_{3}(G) \leq \gamma_{2}(G)^{4}$. Moreover we consider p-groups for which the commutator subgroup is isomorphic to $ C_{p} \times C_{p}$ under the restriction, that we assume p>2 and $C_{G}(\gamma_{2}(G))$ to be abelian in the case of cl(G)=3. By applying a theorem of X. Du every factor group in the upper central series of $(J(KG), \ast)$ is a K-vector space. For each of these vector spaces we determine its K-dimension. In addition our constructive proceeding yields bases for these factor spaces. We show that we can determine bases (the dimensions respectively) for the factor spaces in the upper central series by analyzing the cosets with respect to $\gamma_{2}(G)$. We prove that for this determination it is sufficient to determine an element of a conjugacy class of minimal length for each coset in $G / \gamma_{2}(G)$ (the length of a minimal conjugacy class respectively) as well as $\gamma_{3}(G)$ (and $|\gamma_{3}(G)|$ respectively). In particular for p>2 this thesis provides a method to determine bases for the factor spaces in the upper central series of J(KG) for each p-group G with $|G| \leq p^{4}$.

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